Гурав хасах бол ямар тэмдэг. Хасах үйлдэл

Гурав хасах бол ямар тэмдэг. Хасах үйлдэл

Натурал тоо, энгийн ба аравтын бутархайг үржүүлэх чадварыг нэгтгэх;

Эерэг ба сөрөг тоог үржүүлж сурах;

Бүлгээр ажиллах чадварыг хөгжүүлэх

Математикийн сониуч зан, сонирхлыг хөгжүүлэх; сэдвээр сэтгэх, ярих чадвар.

Тоног төхөөрөмж: термометр, байшингийн загвар, сэтгэцийн тоолох, туршилтын ажилд зориулсан картууд, үржүүлэх тэмдгийн дүрмүүд бүхий зурагт хуудас.

Урам зориг

Багш аа . Өнөөдөр бид шинэ сэдвийг судалж эхэлж байна. Бид барих гэж байна шинэ байшин. Надад хэлээч, байшингийн бат бөх чанарыг юу тодорхойлдог вэ?

Одоо бидний үндэс суурь, өөрөөр хэлбэл бидний мэдлэгийн хүч чадал юу болохыг шалгацгаая. Би чамд хичээлийн сэдвийг хэлээгүй. Энэ нь кодлогдсон, өөрөөр хэлбэл аман тоолох даалгаварт далдлагдсан байдаг. Анхааралтай, анхааралтай байгаарай. Энд жишээ бүхий картууд байна. Тэдгээрийг шийдэж, үсгийг хариулттай нь тааруулснаар та хичээлийн сэдвийн нэрийг олж мэдэх болно.

Багш аа. Тэгэхээр энэ үг нь үржүүлэлт юм. Гэхдээ бид үржүүлэх аргыг аль хэдийн мэддэг болсон. Бид яагаад үүнийг судлах хэрэгтэй байна вэ? Та саяхан ямар тоотой танилцсан бэ?

[Эерэг ба сөрөг талуудтай.]

Бид тэдгээрийг үржүүлж чадах уу? Тиймээс хичээлийн сэдэв нь "Эерэг ба сөрөг тоог үржүүлэх" байх болно.

Та жишээнүүдийг хурдан бөгөөд зөв шийдсэн. Сайхан суурь тавигдсан. ( Загварын байшингийн багш « тавьдаг» суурь.) Байшин удаан эдэлгээтэй байх болно гэж бодож байна.

Шинэ сэдвийг судлах

Багш аа . Одоо хана босгоцгооё. Тэд шал, дээврийг холбодог, өөрөөр хэлбэл хуучин сэдвийг шинэ зүйлтэй холбодог. Одоо та бүлгээрээ ажиллах болно. Бүлэг тус бүрд хамтдаа шийдвэрлэх бодлого өгөөд дараа нь ангийнханд шийдлийг тайлбарлана.

1-р бүлэг

Агаарын температур цаг тутамд 2 градусаар буурдаг. Одоо термометр тэг градусыг харуулж байна. 3 цагийн дараа ямар температур харагдах вэ?

Бүлгийн шийдвэр. Температур одоо 0 болж, цаг тутамд температур 2 ° -аар буурч байгаа тул 3 цагийн дараа температур -6 ° байх нь ойлгомжтой. Температурын бууралтыг –2°, цагийг +3 цаг гэж тэмдэглэе. Дараа нь бид (–2) 3 = –6 гэж үзэж болно.

Багш аа . Хэрэв би хүчин зүйлүүдийг, өөрөөр хэлбэл 3 (–2)-ийг дахин цэгцэлвэл яах вэ?

Оюутнууд. Хариулт нь адилхан: -6, учир нь үржүүлэхийн хувирах шинж чанарыг ашигладаг.

Агаарын температур цаг тутамд 2 градусаар буурдаг. Одоо термометр тэг градусыг харуулж байна. 3 цагийн өмнө термометр ямар температурыг харуулсан бэ?

Бүлгийн шийдвэр. Цаг тутамд агаарын хэм 2°-аар буурч, одоо 0 болж байгаа тул 3 цагийн өмнө +6° байсан нь илт харагдаж байна. Температурын бууралтыг -2°, өнгөрсөн хугацааг -3 цаг гэж тэмдэглэе. Дараа нь бид (–2) (–3) = 6 гэж үзэж болно.

Багш аа . Та эерэг, сөрөг тоог хэрхэн үржүүлэхээ мэдэхгүй байна. Гэхдээ ийм тоог үржүүлэх шаардлагатай асуудлуудыг тэд шийдсэн. Эерэг ба сөрөг тоо, хоёр сөрөг тоог үржүүлэх дүрмийг өөрөө гаргаж үзээрэй. ( Оюутнууд дүрмийг ойлгохыг хичээж байна.) Сайн байна. Одоо сурах бичгүүдийг нээж, эерэг ба сөрөг тоог үржүүлэх дүрмийг уншъя. Өөрийн дүрмийг сурах бичигт бичсэнтэй харьцуул.

Дүрэм 1Өөр өөр тэмдэгтэй хоёр тоог үржүүлэхийн тулд та эдгээр тоонуудын модулийг үржүүлж, үүссэн бүтээгдэхүүний өмнө "-" тэмдэг тавих хэрэгтэй.

Дүрэм 2. Ижил тэмдэгттэй хоёр тоог үржүүлэхийн тулд эдгээр тоонуудын модулийг үржүүлж, үүссэн бүтээгдэхүүний өмнө "+" тэмдэг тавих хэрэгтэй.

Багш аа. Суурийг барьж байхдаа харсан шиг натурал болон бутархай тоог үржүүлэхэд ямар ч асуудал байхгүй. Эерэг болон сөрөг тоог үржүүлэхэд асуудал үүсч болно. Яагаад?

Санаж байна уу! Эерэг ба сөрөг тоог үржүүлэхэд:

1) тэмдгийг тодорхойлох;
2) модулиудын үржвэрийг ол.

Багш аа . Үржүүлэх тэмдгүүдийн хувьд санахад маш хялбар байдаг мнемоник дүрмүүд байдаг. Товчхондоо тэдгээрийг дараах байдлаар томъёолсон болно.

"+" "+" \u003d "+" - нэмэх дээр нэмэх нь нэмэхийг өгдөг;
"-" "+" = "-" - хасах нэмэх нь хасах өгдөг;
"+" "-" \u003d "-" - нэмэх нь хасах нь хасах болно;
“–” · “–” = “+” - хасах удаа нэмэх нь нэмэх.

(Оюутнууд тэмдэглэлийн дэвтэрт тэмдгийн дүрмийг бичдэг.)

Багш аа . Хэрэв бид өөрсдийгөө болон найз нөхдөө эерэг, дайснуудаа сөрөг гэж үзвэл дараахь зүйлийг хэлж болно.

Миний найзын найз бол миний найз.
Миний найзын дайсан бол миний дайсан.
Миний дайсны найз бол миний дайсан.
Миний дайсны дайсан бол миний найз.

Судалсан зүйлээ анхан шатны ойлголт, хэрэглээ

Самбар дээрх аман уусмалын жишээ. Оюутнууд дүрмийг хэлдэг:

Багш аа . Бүгд ойлгомжтой юу? Асуулт байхгүй юу? Тиймээс хана нь баригдсан. ( Багш хана босгодог.) Одоо бид юу барьж байна вэ?

(Дөрвөн сурагчийг самбарт дууддаг.)

Багш аа. Дээвэр бэлэн үү?

(Багш загвар байшинд дээвэр тавьдаг.)

Сурагчид ажлыг нэг хувилбараар гүйцэтгэнэ.

Ажлаа дуусгаад хөрштэйгээ дэвтэр солилцдог. Багш зөв хариултыг тайлагнаж, сурагчид бие биедээ оноо өгдөг.

Хичээлийн хураангуй. Тусгал

Багш аа. Хичээлийн эхэнд бидний зорилго юу байсан бэ? Та эерэг ба сөрөг тоог үржүүлж сурсан уу? ( Тэд дүрмийг давтана.) Энэ хичээл дээр та шинэ сэдэв бүрийг олон жилийн турш хөрөнгө оруулалтаар барьж байгуулах шаардлагатай байшинг олж харсан. Үгүй бол таны бүх барилгууд богино хугацааны дараа нурах болно. Тиймээс бүх зүйл танаас хамаарна. Залуус аа, аз тань үргэлж инээмсэглэж, мэдлэгийг эзэмшихэд нь амжилт хүсье.

Дүрэмд гарын үсэг зурах

гарын үсэг зурах дүрэм

Тэмдгийн үндсэн дүрмийг илүү нарийвчлан авч үзье.

Хэрэв бид "нэмэх"-ийг "хасах" гэж хуваавал бид үргэлж "хасах"-ыг авдаг. Хэрэв бид "хасах"-ыг "нэмэх"-д хуваавал бид үргэлж "хасах"-ыг авдаг. Хэрэв бид "нэмэх" -ийг "нэмэх" гэж хуваавал "нэмэх" болно. Хэрэв бид "хасах"-ыг "хасах"-д хуваавал хачирхалтай нь бид "нэмэх"-ийг авна.

Хэрэв бид "хасах"-ыг "нэмэх"-ээр үржүүлбэл бид үргэлж "хасах"-ыг авдаг. Хэрэв бид "нэмэх"-ийг "хасах"-аар үржүүлбэл бид үргэлж "хасах"-ыг авдаг. Хэрэв бид "нэмэх" -ийг "нэмэх" -ээр үржүүлбэл эерэг тоо, өөрөөр хэлбэл "нэмэх" болно. Хоёр сөрөг тоонд мөн адил хамаарна. Хэрэв бид "хасах" -ыг "хасах"-аар үржүүлбэл "нэмэх" болно.

Эдгээр нь бусад зарчим дээр суурилдаг. Хэрэв сөрөг тоо нь үнэмлэхүй утгаараа бидний эерэг тооноос их байвал үр дүн нь мэдээж сөрөг байх болно. Та модуль гэж юу вэ, яагаад энд байгааг гайхаж байгаа нь лавтай. Бүх зүйл маш энгийн. Модуль гэдэг нь тооны утга боловч тэмдэггүй. Жишээ нь -7 ба 3. Modulo -7 нь ердөө 7 байх ба 3 нь 3 хэвээр байх болно. Үүний үр дүнд бид 7 нь илүү, өөрөөр хэлбэл бидний сөрөг тоо илүү байгааг харж байна. Тэгэхээр -7 + 3 \u003d -4 гарч ирнэ. Үүнийг бүр ч хялбар болгож болно. Зүгээр л эхний ээлжинд эерэг тоог тавь, тэгээд 3-7 = -4 гарч ирнэ, магадгүй энэ нь хэн нэгэнд илүү ойлгомжтой байх болно. Хасах үйлдэл нь яг адилхан ажилладаг.

Яагаад хасах үрийг хасах нь нэмэхтэй тэнцдэг вэ?

"Миний дайсны дайсан бол миний найз".

Эрт дээр үед хүмүүс зөвхөн натурал тоонуудыг мэддэг байсан: 1, 2, 3, . Тэд сав суулга, олз, дайснууд гэх мэтийг тоолоход ашигладаг байсан. Гэхдээ тоонууд нь өөрөө ашиггүй юм - та тэдгээрийг зохицуулах чадвартай байх хэрэгтэй. Нэмэх нь ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой бөгөөд үүнээс гадна хоёр натурал тооны нийлбэр нь мөн натурал тоо юм (математикч нэмэх үйлдлээр натурал тооны олонлог хаалттай байна гэж хэлэх болно). Хэрэв бид натурал тооны тухай ярьж байгаа бол үржүүлэх нь үнэн хэрэгтээ ижил нэмэгдэл юм. Амьдралд бид эдгээр хоёр үйлдлүүдтэй холбоотой үйлдлүүдийг ихэвчлэн хийдэг (жишээлбэл, дэлгүүр хэсэхдээ бид нэмж, үржүүлдэг) бөгөөд бидний өвөг дээдэс эдгээртэй бага тулгардаг байсан гэж бодох нь хачирхалтай юм - нэмэх, үржүүлэхийг хүн төрөлхтөн маш удаан хугацаанд эзэмшсэн. өмнө. Ихэнхдээ нэг хэмжигдэхүүнийг нөгөөд хуваах шаардлагатай байдаг, гэхдээ энд үр дүн нь үргэлж натурал тоогоор илэрхийлэгддэггүй - ийм байдлаар бутархай тоо гарч ирдэг.

МЭ 7-р зууны Энэтхэгийн баримт бичгүүдэд сөрөг тоо гарч ирдэг; Хятадууд тэднийг арай эрт ашиглаж эхэлсэн бололтой. Тэдгээрийг өрийг тооцох эсвэл тэгшитгэлийн шийдлийг хялбарчлах завсрын тооцоололд ашигласан - энэ нь зөвхөн эерэг хариулт авах хэрэгсэл байв. Сөрөг тоо нь эерэг тооноос ялгаатай нь ямар нэгэн аж ахуйн нэгжийн оршихуйг илэрхийлдэггүй нь хүчтэй үл итгэх байдлыг төрүүлэв. Энэ үгийн шууд утгаараа хүмүүс сөрөг тооноос зайлсхийдэг: хэрэв асуудал сөрөг хариулттай бол тэд огт хариулт байхгүй гэж үздэг. Энэхүү үл итгэх байдал маш удаан үргэлжилсэн бөгөөд орчин үеийн математикийн "үндэслэгчдийн" нэг болох Декарт хүртэл тэднийг "худал" гэж нэрлэсэн (17-р зуунд!).

7х - 17 = 2х - 2. Үүнийг ингэж шийдэж болно: үл мэдэгдэх нэр томъёог зүүн тал руу, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлээрэй. 7х - 2х = 17 - 2 , 5х = 15 , x=3

Гэхдээ санамсаргүйгээр үүнийг өөрөөр хийж болно: үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, аваарай 2 - 17 = 2x - 7x , (–15) ​​= (–5) х. Үл мэдэгдэхийг олохын тулд та нэг сөрөг тоог нөгөөд хуваах хэрэгтэй. x = (–15)/(–5). Гэхдээ зөв хариулт нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд үүнийг дүгнэх хэрэгтэй (–15)/(–5) = 3 .

. Хоёрдугаарт, сөрөг тоог ашиглахыг зөвшөөрснөөр бид уйтгартай (хэрэв тэгшитгэл нь илүү төвөгтэй, олон тооны нэр томъёотой бол) бүх үйлдлийг зөвхөн натурал тоон дээр гүйцэтгэдэг шийдлийн замыг хайхаас ангижрах болно. Түүгээр ч барахгүй, бид хувиргаж буй хэмжигдэхүүнүүдийн утга учирын талаар цаг бүр бодохоо больсон бөгөөд энэ нь математикийг хийсвэр шинжлэх ухаан болгон хувиргах алхам юм.

Сөрөг тоон дээрх үйлдлийн дүрмийг тэр даруйд нь гаргаагүй боловч хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэх үед гарч ирсэн олон жишээнүүдийн ерөнхий дүрмүүд болжээ. Ерөнхийдөө математикийн хөгжлийг нөхцөлт байдлаар үе шатуудад хувааж болно: дараагийн үе шат бүр нь объектыг судлах шинэ түвшний хийсвэрлэлээр өмнөх үе шатуудаас ялгаатай. Тиймээс 19-р зуунд математикчид бүхэл тоонууд болон олон гишүүнтүүд гаднаасаа ялгаатай байдгаараа ижил төстэй зүйл байдгийг ойлгосон: хоёуланг нь нэмж, хасаж, үржүүлж болно. Эдгээр үйлдлүүд нь тооны хувьд ч, олон гишүүнтийн хувьд ч ижил хуулиудад захирагддаг. Гэвч үр дүн нь дахин бүхэл тоо болохын тулд бүхэл тоонуудыг хооронд нь хуваах нь үргэлж боломжгүй байдаг. Олон гишүүнтийн хувьд ч мөн адил.

бөгж аксиомууд

бөгж

  • A + B = B + Aаливаа элементийн хувьд Аболон Б) ба ассоциатив ( A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = A, аль ч элементийн хувьд А (–A)), юу A + (–A) = 0 ;
  • Үржүүлэх нь хослолын хуулийг дагаж мөрддөг. A (B C) = (A B) C ;
  • Хамгийн ерөнхий бүтэцтэй цагираг нь үржүүлэхийг шаарддаггүй, мөн урвуу (өөрөөр хэлбэл хуваах нь үргэлж боломжгүй байдаг), мөн нэгж байх шаардлагагүй - төвийг сахисан элемент байхыг анхаарна уу. үржүүлэх. Хэрэв эдгээр аксиомуудыг оруулбал бусад алгебрийн бүтцийг олж авах боловч цагиргуудын хувьд батлагдсан бүх теоремууд тэдгээрт үнэн байх болно.

    Ахоёр эсрэг заалт байдаг: Бболон -тай. өөрөөр хэлбэл A + B = 0 = A + C. Нийлбэрийг анхаарч үзээрэй A+B+C Б: C: . гэсэн үг, B=C .

    Одоо үүнийг тэмдэглэе А, ба (–(–A)) (–A)

    Эхний баримтыг дараах байдлаар олж авна: өөрөөр хэлбэл, (–A) Бэсрэг А Б, тэгэхээр тэнцүү байна –(A B) .

    0 B = 0аливаа элементийн хувьд Б. Үнэхээр, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Энэ нь нэмэлт юм 0 Б

    Хасах, хасах үржүүлэх дүрэм

    Хэрэв бид дан "нийлбэр" гэж үзвэл 1-5-р бүтээгдэхүүнд ижил тайлбар тохиромжтой.

    нэр томъёо нь энэ нэр томъёотой тэнцүү байна. Гэхдээ 0 5 эсвэл (-3) 5 үржвэрийг ийм байдлаар тайлбарлах боломжгүй: тэг эсвэл хасах гурван гишүүний нийлбэр нь юу гэсэн үг вэ?

    Гэсэн хэдий ч хүчин зүйлсийг дахин цэгцлэх боломжтой

    Хэрэв бид эерэг тоонуудын адил хүчин зүйлсийг өөрчлөхөд бүтээгдэхүүн өөрчлөгдөхгүй байхыг хүсч байвал бид ийм байдлаар тооцох ёстой.

    Одоо (-3) (-5) бүтээгдэхүүн рүү шилжье. Энэ нь хэдтэй тэнцүү вэ: -15 эсвэл +15? Хоёр сонголт хоёулаа утга учиртай. Нэг талаас, нэг хүчин зүйлийн хасах нь бүтээгдэхүүнийг аль хэдийн сөрөг болгодог - хэрэв хоёр хүчин зүйл сөрөг байвал сөрөг байх ёстой. Нөгөө талаас, Хүснэгтэнд. 7 нь аль хэдийн хоёр хасахтай, гэхдээ зөвхөн нэг нэмэх, "үнэхээр" (-3)-(-5) нь +15-тай тэнцүү байх ёстой. Тэгэхээр та юуг илүүд үздэг вэ?

    Мэдээжийн хэрэг, та ийм ярианд төөрөлдөхгүй: сургуулийн математикийн курсээс хасах нь хасах нь нэмэх зүйл болдог гэдгийг баттай мэдсэн. Харин дүү, эгч чинь чамаас яагаад гэж асууж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь юу вэ - багшийн хүсэл тэмүүлэл, дээд эрх мэдлийн шинж тэмдэг эсвэл нотлогдож болох теорем уу?

    Ихэвчлэн сөрөг тоог үржүүлэх дүрмийг Хүснэгтэнд үзүүлсэн шиг жишээнүүдийг ашиглан тайлбарладаг. найм.

    Үүнийг өөр байдлаар тайлбарлаж болно. Тоонуудыг дараалан бичье

    Одоо ижил тоог 3-аар үржүүлж бичье.

    Тоо бүр өмнөхөөсөө 3-аар их байгааг харахад амархан. Одоо ижил тоонуудыг урвуу дарааллаар бичье (жишээлбэл, 5 ба 15-аас эхлэн):

    Үүний зэрэгцээ -15 тоо нь -5 гэсэн тоон доор байсан тул 3 (-5) \u003d -15: нэмэх нь хасах нь хасах болно.

    Одоо 1,2,3,4,5 тоонуудыг үржүүлээд ижил процедурыг давтая. -3-аар (нэмэх үрийг хасах нь хасах тэнцүү гэдгийг бид аль хэдийн мэдэж байсан):

    Доод эгнээний дараагийн тоо бүр өмнөхөөсөө 3-аар бага байна. Тоонуудыг урвуу дарааллаар бичье.

    -5 тоо 15 болсон тул (-3) (-5) = 15.

    Магадгүй эдгээр тайлбар таны дүү, эгч нарт таалагдах байх. Гэхдээ та бүх зүйл ямар байгааг асуух эрхтэй бөгөөд (-3) (-5) = 15 гэдгийг батлах боломжтой юу?

    Энд хариулах зүйл бол (-3) (-5) нь 15-тай тэнцүү байх ёстой гэдгийг баталж болно, хэрэв бид нэмэх, хасах, үржүүлэхийн ердийн шинж чанаруудыг сөрөг тоо зэрэг бүх тоонд үнэн хэвээр байлгахыг хүсч байвал. Энэхүү нотлох баримтын тойм нь дараах байдалтай байна.

    Эхлээд 3 (-5) = -15 гэдгийг баталъя. -15 гэж юу вэ? Энэ нь 15-ын эсрэг, өөрөөр хэлбэл 15-ыг 0-д нэмдэг тоо. Тиймээс бид үүнийг батлах хэрэгтэй.

    (3-ыг хашилтанд оруулснаар бид ab + ac = a(b + c) хуваарилах хуулийг ашигласан - эцсийн эцэст энэ нь сөрөг тоонуудыг оруулаад бүх тоонуудад үнэн хэвээр байна гэж таамаглаж байна.) Тиймээс, (Нягт нямбай уншигч биднээс асуух болно. Яагаад. Бид чин сэтгэлээсээ хүлээн зөвшөөрч байна: энэ баримтын нотолгоо - ерөнхийдөө тэг гэж юу болох тухай хэлэлцүүлэг шиг - бид алгасах болно.)

    Одоо (-3) (-5) = 15 гэдгийг баталъя. Үүнийг хийхийн тулд бид бичнэ

    тэгшитгэлийн хоёр талыг -5-аар үржүүлнэ.

    Зүүн талд байгаа хаалтуудыг нээцгээе:

    өөрөөр хэлбэл (-3) (-5) + (-15) = 0. Тиймээс энэ тоо нь -15-ын эсрэг, өөрөөр хэлбэл 15-тай тэнцүү байна. ба -15-ын эсрэг зөвхөн нэг тоо байна.)

    Сөрөг дүрэм. Яагаад хасах үрийг хасах нь нэмэх нь тэнцүү

    Математикийн багшийг сонсохдоо ихэнх оюутнууд материалыг аксиом гэж ойлгодог. Үүний зэрэгцээ цөөхөн хүн доод тал руугаа орж, "хасах" нь "нэмэх" нь яагаад "хасах" тэмдэг өгч байгааг ойлгохыг хичээдэг бөгөөд хоёр сөрөг тоог үржүүлэхэд эерэг тоо гарч ирдэг.

    Математикийн хуулиуд

    Ихэнх насанд хүрэгчид яагаад ийм зүйл болсныг өөртөө болон хүүхдүүдэд тайлбарлаж чадахгүй. Тэд сургуульд байхдаа энэ материалыг сайтар сурсан боловч ийм дүрэм хаанаас ирснийг олж мэдэхийг оролдсонгүй. Гэхдээ дэмий л. Ихэнхдээ орчин үеийн хүүхдүүд тийм ч итгэмтгий байдаггүй тул асуудлын ёроолд хүрч, "хасах" дээр "нэмэх" нь яагаад "хасах" гэж байгааг ойлгох хэрэгтэй. Заримдаа томчууд насанд хүрэгчид ойлгомжтой хариулт өгч чадахгүй байгаа тэр мөчийг таашаал авахын тулд зориудаар төвөгтэй асуулт асуудаг. Залуу багш эмх замбараагүй байдалд орвол үнэхээр гамшиг болно.

    Дашрамд хэлэхэд, дээр дурдсан дүрэм нь үржүүлэх, хуваах аль алинд нь хүчинтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Сөрөг ба эерэг тооны үржвэр нь зөвхөн хасах болно. Хэрэв бид "-" тэмдэгтэй хоёр орны тухай ярьж байгаа бол үр дүн нь эерэг тоо байх болно. Хуваалтад ч мөн адил. Хэрэв тоонуудын аль нэг нь сөрөг байвал энэ хэсэг нь "-" тэмдэгтэй байна.

    Математикийн энэ хуулийн зөвийг тайлбарлахын тулд цагирагийн аксиомуудыг томъёолох шаардлагатай. Гэхдээ эхлээд энэ нь юу болохыг ойлгох хэрэгтэй. Математикийн хувьд хоёр элементтэй хоёр үйлдэл оролцсон олонлогийг цагираг гэж нэрлэдэг заншилтай байдаг. Гэхдээ үүнийг жишээгээр ойлгох нь дээр.

    Бөгжний аксиом

    Математикийн хэд хэдэн хууль байдаг.

    • Тэдний эхнийх нь нүүлгэн шилжүүлэх боломжтой, түүний хэлснээр C + V = V + C.
    • Хоёр дахь нь ассоциатив (V + C) + D = V + (C + D) гэж нэрлэгддэг.
    • Үржүүлэх (V x C) x D \u003d V x (C x D) нь мөн тэдгээрийг дагаж мөрддөг.

      Хаалт нээх дүрмийг хэн ч цуцлаагүй (V + C) x D = V x D + C x D, C x (V + D) = C x V + C x D гэдэг нь бас үнэн юм.

      Нэмж дурдахад, цагирагт нэмэлт, төвийг сахисан тусгай элемент оруулах боломжтой болох нь тогтоогдсон бөгөөд үүнийг ашигласнаар дараах үнэн байх болно: C + 0 = C. Үүнээс гадна, C бүрийн хувьд эсрэг талын элемент байдаг бөгөөд үүнийг ашиглаж болно. (-C) гэж тэмдэглэнэ. Энэ тохиолдолд C + (-C) \u003d 0 байна.

      Сөрөг тоонуудын аксиомын гарал үүсэл

      Дээрх мэдэгдлүүдийг хүлээн авснаар бид асуултанд хариулж чадна: "" Дээрээс нь "дээр" хасах нь "ямар тэмдэг өгөх вэ?" Сөрөг тоог үржүүлэх аксиомыг мэдэхийн тулд үнэхээр (-C) x V = - (C x V) гэдгийг батлах шаардлагатай. Мөн дараах тэгш байдал үнэн байна: (-(-C)) = C.

      Үүнийг хийхийн тулд эхлээд элемент тус бүр нь зөвхөн нэг эсрэг талын "ах"-тай гэдгийг батлах ёстой. Дараах нотлох жишээг авч үзье. C - V ба D хоёрын эсрэг хоёр тоо байна гэж төсөөлөхийг хичээцгээе. Үүнээс үзэхэд C + V = 0 ба C + D = 0, өөрөөр хэлбэл C + V = 0 = C + D. Шилжилтийн хуулиудыг санах нь мөн 0 тооны шинж чанаруудын талаар бид бүх гурван тооны нийлбэрийг авч үзэж болно: C, V ба D. V-ийн утгыг олохыг хичээцгээе. V = V + 0 = V + (C +) байх нь логик юм. D) = V + C + D, учир нь дээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн C + D-ийн утга 0-тэй тэнцүү байна. Иймээс V = V + C + D.

      D-ийн утгыг ижил аргаар гаргана: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Үүний үндсэн дээр V = D болох нь тодорхой болно.

      Гэсэн хэдий ч "хасах" дээрх "нэмэх" нь "хасах" гэсэн утгатай болохыг ойлгохын тулд та дараахь зүйлийг ойлгох хэрэгтэй. Тиймээс (-C) элементийн хувьд эсрэгээр нь C ба (-(-C)), өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү байна.

      Дараа нь 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V гэдэг нь тодорхой байна. Үүнээс үзэхэд C x V нь (-) C x V-ийн эсрэг байна. , энэ нь (- C) x V = - (C x V) гэсэн үг юм.

      Математикийн бүрэн нарийвчлалын хувьд аливаа элементийн хувьд 0 x V = 0 гэдгийг батлах шаардлагатай. Хэрэв та логикийг дагаж мөрдвөл 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Энэ нь 0 x V бүтээгдэхүүнийг нэмэхэд тогтоосон хэмжээг ямар ч байдлаар өөрчлөхгүй гэсэн үг юм. Эцсийн эцэст, энэ бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна.

      Эдгээр бүх аксиомуудыг мэдэж байгаа тул "хасах" -аар "нэмэх" нь хэр их болохыг төдийгүй сөрөг тоог үржүүлснээр юу болохыг олж мэдэх боломжтой юм.

      "-" тэмдгээр хоёр тоог үржүүлэх, хуваах

      Хэрэв та математикийн нарийн ширийн зүйлийг судлахгүй бол сөрөг тоонуудын үйлдлийн дүрмийг илүү энгийн байдлаар тайлбарлахыг оролдож болно.

      C - (-V) = D, үүн дээр үндэслэн C = D + (-V), өөрөөр хэлбэл C = D - V байна гэж бодъё. Бид V-г шилжүүлж, бид C + V = D гэдгийг авна. Өөрөөр хэлбэл C + V = C - (-V). Энэ жишээ нь дараалсан хоёр "хасах" илэрхийлэлд дурдсан тэмдгүүдийг "нэмэх" болгон өөрчлөх ёстойг тайлбарлав. Одоо үржүүлэх асуудлыг авч үзье.

      (-C) x (-V) \u003d D, илэрхийлэлд хоёр ижил бүтээгдэхүүнийг нэмж хасах боломжтой бөгөөд энэ нь түүний утгыг өөрчлөхгүй: (-C) x (-V) + (C x V) - (C) x V) \u003d D.

      Хаалттай ажиллах дүрмийг санаж, бид дараахь зүйлийг олж авна.

      1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

      2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

      3) (-C) x 0 + C x V = D;

      Үүнээс үзэхэд C x V \u003d (-C) x (-V).

      Үүний нэгэн адил бид хоёр сөрөг тоог хуваах үр дүн эерэг байх болно гэдгийг баталж чадна.

      Математикийн ерөнхий дүрмүүд

      Мэдээжийн хэрэг, ийм тайлбар нь хийсвэр сөрөг тоонуудыг сурч эхэлж буй бага ангийн сурагчдад тохиромжгүй юм. Тэд нүдэнд харагдахуйц зүйл дээр тайлбарлаж, танил болсон нэр томъёог харагдах шилээр дамжуулан тайлбарлах нь дээр. Жишээлбэл, зохион бүтээсэн, гэхдээ байхгүй тоглоомууд тэнд байрладаг. Тэдгээрийг "-" тэмдгээр харуулж болно. Хоёр харагдах шилний объектыг үржүүлснээр тэдгээрийг өөр ертөнц рүү шилжүүлдэг бөгөөд энэ нь одоогийнхтой тэнцэж байгаа бөгөөд үүний үр дүнд бид эерэг тоотой болно. Гэхдээ хийсвэр сөрөг тоог эерэг тоогоор үржүүлэх нь зөвхөн хүн бүрт танил болсон үр дүнг өгдөг. Эцсийн эцэст, "нэмэх" -ийг "хасах" -аар үржүүлснээр "хасах" болно. Хүүхдүүд математикийн бүх нарийн ширийн зүйлийг судлахын тулд тийм ч их хичээдэггүй нь үнэн.

      Хэдийгээр, хэрэв та үнэнтэй тулгарвал олон хүмүүсийн хувьд, тэр ч байтугай хамт өндөр боловсролмөн олон дүрэм нууц хэвээр байна. Математикийн ээдрээтэй бүх нарийн ширийнийг судлахын тулд хүн бүр багшийнхаа зааж өгсөн зүйлийг энгийн зүйл мэт хүлээн авдаг. "Хасах" дээр "хасах" нь "нэмэх" өгдөг - үүнийг хүн бүр мэддэг. Энэ нь бүхэл тоо болон бутархай тоонуудын хувьд үнэн юм.

      Хасах ба нэмэх нь математикийн сөрөг ба эерэг тоонуудын шинж тэмдэг юм. Тэд өөр хоорондоо янз бүрийн аргаар харьцдаг тул тоонууд, жишээлбэл, хуваах, үржүүлэх, хасах, нэмэх гэх мэт аливаа үйлдлийг гүйцэтгэхдээ үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. гарын үсэг зурах дүрэм. Эдгээр дүрмүүдгүйгээр та хамгийн энгийн алгебрийн болон геометрийн бодлогыг хэзээ ч шийдэж чадахгүй. Эдгээр дүрмийн талаар мэдлэггүй бол та зөвхөн математик төдийгүй физик, хими, биологи, тэр ч байтугай газарзүйн хичээлүүдийг судлах боломжгүй болно.

      Хасах ба нэмэх.

      Хоёр сөрөг нь эерэг болгодог- Энэ бол бидний сургуулиас суралцаж, амьдралынхаа туршид хэрэгжүүлдэг дүрэм юм. Бидний хэн нь яагаад гэж гайхсан бэ? Мэдээжийн хэрэг, энэ мэдэгдлийг нэмэлт асуултгүйгээр цээжилж, асуудлын мөн чанарыг гүнзгийрүүлэхгүй байх нь илүү хялбар байдаг. Одоо "шингээх" шаардлагатай хангалттай мэдээлэл байна. Гэхдээ энэ асуултыг сонирхож байгаа хүмүүст бид энэ математик үзэгдлийг тайлбарлахыг хичээх болно.

      Эрт дээр үеэс хүмүүс эерэг натурал тоог хэрэглэж ирсэн: 1, 2, 3, 4, 5, ... Үхэр, тариа, дайсан гэх мэтийг тооны тусламжтайгаар тоолж байжээ. Хоёр эерэг тоог нэмэх, үржүүлэхэд тэд үргэлж эерэг тоо авдаг, зарим хэмжигдэхүүнийг бусдад хуваахад тэд үргэлж натурал тоог авдаггүй - ийм байдлаар бутархай тоо гарч ирдэг. Хасах үйлдэл яах вэ? Бага наснаасаа л бид томыг нь жижгийг нэмж, томыг нь хасах нь дээр гэдгийг мэддэг, харин сөрөг тоог дахин ашигладаггүй. Би 10 алимтай бол хэн нэгэнд 10, 10-аас дутууг нь өгчихдөг юм байна, надад 13 алим байхгүй болохоор ямар ч боломжгүй. Удаан хугацааны туршид сөрөг тоо гарах шаардлагагүй болсон.

      Зөвхөн МЭ 7-р зуунаас.сөрөг тоонуудыг зарим тоолох системд туслах утга болгон ашигласан бөгөөд энэ нь хариултанд эерэг тоог авах боломжтой болсон.

      Жишээ авч үзье, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Хариултыг олохын тулд зүүн талд үл мэдэгдэх нэр томъёог, баруун талд үлдсэнийг нь үлдээх шаардлагатай: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд сөрөг тоо байхгүй. Бид үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун тийш, үл мэдэгдэх нэр томъёог зүүн тийш шилжүүлж болно: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Сөрөг тоог сөрөг тоогоор хуваахдаа эерэг хариултыг авна: x \u003d 7.

      Сөрөг тоотой үйлдэл нь зөвхөн эерэг тоотой үйлдэлтэй ижил хариулт руу хөтөлнө. Бид үйлдлүүдийн практик зохисгүй байдал, утга учиртай байдлын талаар бодохоо больсон - тэд зөвхөн эерэг тоогоор тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулахгүйгээр асуудлыг илүү хурдан шийдвэрлэхэд тусалдаг. Бидний жишээн дээр бид нарийн төвөгтэй тооцооллыг ашиглаагүй боловч олон тооны нэр томьёотой сөрөг тоо бүхий тооцоолол нь бидний ажлыг хөнгөвчлөх боломжтой.

      Цаг хугацаа өнгөрөхөд урт хугацааны туршилт, тооцооллын дараа бүх тоо, тэдгээрийн үйлдлүүдийг дагаж мөрдөх дүрмийг тодорхойлох боломжтой болсон (математикт тэдгээрийг аксиом гэж нэрлэдэг). Энэ нь хаанаас ирсэн юм хоёр сөрөг тоог үржүүлэхэд эерэг тоо гарна гэсэн аксиом.

      www.site, материалыг бүрэн буюу хэсэгчлэн хуулбарласан тохиолдолд эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

      1) Яагаад хасах нэгийг хасах нь нэг нэмэхтэй тэнцүү вэ?
      2) Яагаад хасах нэгийг нэмэх нь нэгтэй тэнцүү хасах нэг вэ?

      "Миний дайсны дайсан бол миний найз".

      Хамгийн хялбар хариулт бол: "Учир нь эдгээр нь сөрөг тоотой ажиллах дүрэм юм." Сургуульд сурч байхдаа бидний амьдралын туршид дагаж мөрддөг дүрэм журам. Гэтэл сурах бичгүүдэд яагаад дүрэм журам ийм байдгийг тайлбарлаагүй. Үүнийг бид эхлээд арифметикийн хөгжлийн түүхээс ойлгохыг хичээж, дараа нь орчин үеийн математикийн үүднээс энэ асуултад хариулах болно.

      Эрт дээр үед хүмүүс зөвхөн натурал тоонуудыг мэддэг байсан: 1, 2, 3, . Тэд сав суулга, олз, дайснууд гэх мэтийг тоолоход ашигладаг байсан. Гэхдээ тоонууд нь өөрөө ашиггүй юм - та тэдгээрийг хэрхэн зохицуулахаа мэдэх хэрэгтэй. Нэмэх нь ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой бөгөөд үүнээс гадна хоёр натурал тооны нийлбэр нь мөн натурал тоо юм (математикч нэмэх үйлдлээр натурал тооны олонлог хаалттай байна гэж хэлэх болно). Хэрэв бид натурал тооны тухай ярьж байгаа бол үржүүлэх нь үнэн хэрэгтээ ижил нэмэгдэл юм. Амьдралд бид эдгээр хоёр үйлдлүүдтэй холбоотой үйлдлүүдийг ихэвчлэн хийдэг (жишээлбэл, дэлгүүр хэсэхдээ бид нэмж, үржүүлдэг) бөгөөд бидний өвөг дээдэс эдгээртэй бага тулгардаг байсан гэж бодох нь хачирхалтай юм - нэмэх, үржүүлэхийг хүн төрөлхтөн маш удаан хугацаанд эзэмшсэн. өмнө. Ихэнхдээ нэг хэмжигдэхүүнийг нөгөөд хуваах шаардлагатай байдаг, гэхдээ энд үр дүн нь үргэлж натурал тоогоор илэрхийлэгддэггүй - ийм байдлаар бутархай тоо гарч ирдэг.

      Хасах нь мэдээжийн хэрэг бас зайлшгүй зүйл юм. Гэвч практик дээр бид том тооноос бага тоог хасах хандлагатай байдаг бөгөөд сөрөг тоо хэрэглэх шаардлагагүй. (Хэрвээ надад 5 чихэр байхад 3-ыг нь эгчдээ өгчихвөл 5 - 3 = 2 чихэр байх болно, гэхдээ би бүх хүсэлдээ хөтлөгдөн түүнд 7 чихэр өгч чадахгүй.) Энэ нь хүмүүс яагаад сөрөг тоо хэрэглэдэггүй байсныг тайлбарлаж болно. урт хугацаанд.

      МЭ 7-р зууны Энэтхэгийн баримт бичгүүдэд сөрөг тоо гарч ирдэг; Хятадууд тэднийг арай эрт ашиглаж эхэлсэн бололтой. Тэдгээрийг өрийг тооцох эсвэл тэгшитгэлийн шийдлийг хялбарчлах завсрын тооцоололд ашигласан - энэ нь зөвхөн эерэг хариулт авах хэрэгсэл байв. Сөрөг тоо нь эерэг тооноос ялгаатай нь ямар нэгэн аж ахуйн нэгжийн оршихуйг илэрхийлдэггүй нь хүчтэй үл итгэх байдлыг төрүүлэв. Энэ үгийн шууд утгаараа хүмүүс сөрөг тооноос зайлсхийдэг: хэрэв асуудал сөрөг хариулттай бол тэд огт хариулт байхгүй гэж үздэг. Энэхүү үл итгэх байдал маш удаан үргэлжилсэн бөгөөд орчин үеийн математикийн "үндэслэгчдийн" нэг Декарт хүртэл тэднийг "худал" гэж нэрлэсэн (17-р зуунд!).

      Жишээлбэл, тэгшитгэлийг авч үзье 7х - 17 = 2х - 2. Үүнийг ингэж шийдэж болно: үл мэдэгдэх нэр томъёог зүүн тал руу, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлээрэй. 7х - 2х = 17 - 2 , 5х = 15 , x=3. Энэ шийдлээр бид сөрөг тоотой ч уулзаагүй.

      Энэ энгийн жишээ юуг харуулж байна вэ? Нэгдүгээрт, сөрөг тоонуудын үйлдлийн дүрмийг тодорхойлсон логик нь тодорхой болно. Эдгээр үйлдлийн үр дүн нь сөрөг тоогүйгээр өөр аргаар олж авсан хариултуудтай тохирч байх ёстой. Хоёрдугаарт, сөрөг тоог ашиглахыг зөвшөөрснөөр бид уйтгартай (хэрэв тэгшитгэл нь илүү төвөгтэй, олон тооны нэр томъёотой бол) бүх үйлдлийг зөвхөн натурал тоон дээр гүйцэтгэдэг шийдлийн замыг хайхаас ангижрах болно. Түүгээр ч барахгүй, бид хувиргаж буй хэмжигдэхүүнүүдийн утга учирын талаар цаг бүр бодохоо больсон бөгөөд энэ нь математикийг хийсвэр шинжлэх ухаан болгон хувиргах алхам юм.

      Сөрөг тоон дээрх үйлдлийн дүрмийг тэр даруйд нь гаргаагүй боловч хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэх үед гарч ирсэн олон жишээнүүдийн ерөнхий дүрмүүд болжээ. Ерөнхийдөө математикийн хөгжлийг нөхцөлт байдлаар үе шатуудад хувааж болно: дараагийн үе шат бүр нь объектыг судлах шинэ түвшний хийсвэрлэлээр өмнөх үе шатуудаас ялгаатай. Тиймээс 19-р зуунд математикчид бүхэл тоонууд болон олон гишүүнтүүд гаднаасаа ялгаатай байдгаараа ижил төстэй зүйл байдгийг ойлгосон: хоёуланг нь нэмж, хасаж, үржүүлж болно. Эдгээр үйлдлүүд нь тооны хувьд ч, олон гишүүнтийн хувьд ч ижил хуулиудад захирагддаг. Гэвч үр дүн нь дахин бүхэл тоо болохын тулд бүхэл тоонуудыг хооронд нь хуваах нь үргэлж боломжгүй байдаг. Олон гишүүнтийн хувьд ч мөн адил.

      Дараа нь ийм үйлдлийг гүйцэтгэх боломжтой математикийн объектуудын бусад цуглуулгуудыг олж илрүүлсэн: албан ёсны хүчний цуваа, тасралтгүй функцууд. Эцэст нь хэлэхэд, хэрэв та үйлдлүүдийн шинж чанарыг судалж үзвэл үр дүнг эдгээр бүх объектод ашиглаж болно (энэ арга нь орчин үеийн бүх математикийн хувьд түгээмэл байдаг) гэсэн ойлголттой болсон.

      Үүний үр дүнд шинэ ойлголт гарч ирэв: бөгж. Энэ бол зүгээр л олон тооны элементүүд ба тэдгээр дээр хийж болох үйлдлүүд юм. Энд байгаа үндсэн дүрмүүд нь зөвхөн дүрмүүд юм (тэдгээрийг гэж нэрлэдэг аксиомууд) олонлогийн элементүүдийн шинж чанар биш харин үйлдлүүд хамаарах болно (энэ нь хийсвэрлэлийн шинэ түвшин юм!). Аксиомуудыг оруулсны дараа үүсдэг бүтэц нь чухал гэдгийг онцлон тэмдэглэхийг хүсч буй математикчид: бүхэл тооны цагираг, олон гишүүнтийн цагираг гэх мэт. Аксиомуудаас эхлээд цагирагуудын бусад шинж чанарыг гаргаж авч болно.

      Бид цагирагийн аксиомуудыг томъёолох болно (энэ нь мэдээж бүхэл тоонуудтай ажиллах дүрэмтэй төстэй), дараа нь ямар ч цагирагт хасахыг хасахаар үржүүлэх нь нэмэх үр дүнд хүрдэг гэдгийг батлах болно.

      бөгжЭнэ нь уламжлалт байдлаар нэмэх, үржүүлэх гэж нэрлэгддэг хоёртын хоёр үйлдэлтэй (өөрөөр хэлбэл, цагирагийн хоёр элемент үйлдэл бүрт оролцдог) олонлог бөгөөд дараах аксиомууд юм.

    • цагирагийн элементүүдийн нэмэлт нь солигддог ( A + B = B + Aаливаа элементийн хувьд Аболон Б) ба ассоциатив ( A + (B + C) = (A + B) + C) хууль тогтоомж; цагираг нь тусгай элемент 0 (нэмэлтээр төвийг сахисан элемент) агуулсан байдаг A + 0 = A, аль ч элементийн хувьд Аэсрэг элемент байна (тэмдэглэсэн (–A)), юу A + (–A) = 0 ;
    • Нэмэх ба үржүүлэх нь дараах хаалтанд өргөтгөх дүрмээр холбогдоно. (A + B) C = A C + B Cболон A (B + C) = A B + A C .

    Хамгийн ерөнхий бүтэцтэй цагиргууд нь үржүүлэхийг шаарддаггүй, мөн урвуу (өөрөөр хэлбэл хуваах нь үргэлж боломжгүй байдаг), мөн нэгж, төвийг сахисан элемент байхыг шаарддаггүй гэдгийг бид тэмдэглэж байна. үржүүлэхийг хүндэтгэх. Хэрэв эдгээр аксиомуудыг оруулбал бусад алгебрийн бүтцийг олж авах боловч цагиргуудын хувьд батлагдсан бүх теоремууд тэдгээрт үнэн байх болно.

    Үүнийг бид ямар ч элементийн хувьд одоо баталж байна Аболон Бдурын цагираг үнэн, нэгдүгээрт, (–A) B = –(A B), хоёрдугаарт (–(–A)) = А. Үүнээс үзэхэд нэгжийн талаархи мэдэгдлүүдийг амархан дагаж болно: (–1) 1 = –(1 1) = –1болон (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .

    Үүний тулд бид зарим баримтыг тогтоох хэрэгтэй. Эхлээд бид элемент бүр зөвхөн нэг эсрэг заалттай болохыг баталж байна. Үнэн хэрэгтээ, элементийг зөвшөөрөх Ахоёр эсрэг заалт байдаг: Бболон -тай. өөрөөр хэлбэл A + B = 0 = A + C. Нийлбэрийг анхаарч үзээрэй A+B+C. Ассоциатив ба солилцооны хууль, тэгийн шинж чанарыг ашигласнаар бид нэг талаас нийлбэр нь тэнцүү байна. Б : B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, нөгөө талаас энэ нь тэнцүү байна C : A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. гэсэн үг, B=C .

    Одоо үүнийг тэмдэглэе А, ба (–(–A))ижил элементийн эсрэг байна (–A), тиймээс тэд тэнцүү байх ёстой.

    Эхний баримт нь дараах байдалтай байна. 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, өөрөөр хэлбэл (–A) Бэсрэг А Б, тэгэхээр тэнцүү байна –(A B) .

    Математикийн хувьд хатуу байхын тулд яагаад гэдгийг тайлбарлая 0 B = 0аливаа элементийн хувьд Б. Үнэхээр, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Энэ нь нэмэлт юм 0 Бхэмжээг өөрчлөхгүй. Тэгэхээр энэ бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү байна.

    Мөн цагирагт яг нэг тэг байгааг (эцэст нь аксиомууд ийм элемент байдаг гэж хэлдэг, гэхдээ түүний өвөрмөц байдлын талаар юу ч хэлээгүй!) Бид уншигчдад энгийн дасгал болгон үлдээх болно.

Одоо бид жишээнүүдийг авч үзэх болно сөрөг тоог хасахмөн энэ нь маш амархан гэдгийг та харах болно. Та зүгээр л дүрмийг санах хэрэгтэй: зэрэгцэн зогсож буй хоёр хасах нь нэмэхийг өгдөг.

Жишээ 1: Эерэг тооноос сөрөг тоог хасах

56 – (–34) = 56 + 34 = 90

Таны харж байгаагаар эерэг тооноос сөрөг тоог хасахын тулд та тэдгээрийн модулиудыг нэмэх хэрэгтэй.

Жишээ 2: Сөрөг тооноос сөрөг тоог хасах

– 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35

– 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15

Тиймээс, сөрөг тоог хасахдаа бид дүрмийн дагуу ажилладаг бөгөөд эерэг ба сөрөг тоог хоёуланг нь авах боломжтой.

Аливаа тооны хасахыг тодорхойлдог нэг дүрэм байдаг: сөрөг ба эерэг аль аль нь бөгөөд энэ нь иймэрхүү сонсогддог.


Тэмдгийн дүрэм

Сөрөг тоог хасахдаа нэмэлт хаалтаас салахын тулд бид тэмдгийн дүрмийг ашиглаж болно.Энэ дүрэм нь:

Жишээлбэл:

Одоо асуулт асууж, өөрийгөө шалгаарай!

Сөрөг тоог нэмэх, хасах

Хугацаа: 0

Навигац (зөвхөн ажлын дугаар)

20 ажлын 0 нь дууссан

1) Яагаад хасах нэгийг хасах нь нэг нэмэхтэй тэнцүү вэ?
2) Яагаад хасах нэгийг нэмэх нь нэгтэй тэнцүү хасах нэг вэ?

"Миний дайсны дайсан бол миний найз".

Хамгийн хялбар хариулт бол: "Учир нь эдгээр нь сөрөг тоотой ажиллах дүрэм юм." Сургуульд сурч байхдаа бидний амьдралын туршид дагаж мөрддөг дүрэм журам. Гэтэл сурах бичгүүдэд яагаад дүрэм журам ийм байдгийг тайлбарлаагүй. Үүнийг бид эхлээд арифметикийн хөгжлийн түүхээс ойлгохыг хичээж, дараа нь орчин үеийн математикийн үүднээс энэ асуултад хариулах болно.

Эрт дээр үед хүмүүс зөвхөн натурал тоонуудыг мэддэг байсан: 1, 2, 3, ... Тэд сав суулга, олз, дайснууд гэх мэтийг тоолоход ашигладаг байсан. Гэхдээ тоонууд нь өөрөө ашиггүй байдаг - та үүнийг зохицуулах чадвартай байх хэрэгтэй. тэд. Нэмэх нь ойлгомжтой бөгөөд ойлгомжтой бөгөөд үүнээс гадна хоёр натурал тооны нийлбэр нь мөн натурал тоо юм (математикч нэмэх үйлдлээр натурал тооны олонлог хаалттай байна гэж хэлэх болно). Хэрэв бид натурал тооны тухай ярьж байгаа бол үржүүлэх нь үнэн хэрэгтээ ижил нэмэгдэл юм. Амьдралд бид эдгээр хоёр үйлдлүүдтэй холбоотой үйлдлүүдийг ихэвчлэн хийдэг (жишээлбэл, дэлгүүр хэсэхдээ бид нэмж, үржүүлдэг) бөгөөд бидний өвөг дээдэс эдгээртэй бага тулгардаг байсан гэж бодох нь хачирхалтай юм - нэмэх, үржүүлэхийг хүн төрөлхтөн маш удаан хугацаанд эзэмшсэн. өмнө. Ихэнхдээ нэг хэмжигдэхүүнийг нөгөөд хуваах шаардлагатай байдаг, гэхдээ энд үр дүн нь үргэлж натурал тоогоор илэрхийлэгддэггүй - ийм байдлаар бутархай тоо гарч ирдэг.

Хасах нь мэдээжийн хэрэг бас зайлшгүй зүйл юм. Гэвч практик дээр бид том тооноос бага тоог хасах хандлагатай байдаг бөгөөд сөрөг тоо хэрэглэх шаардлагагүй. (Хэрвээ надад 5 чихэр байхад 3-ыг нь эгчдээ өгчихвөл 5 - 3 = 2 чихэр байх болно, гэхдээ би бүх хүсэлдээ хөтлөгдөн түүнд 7 чихэр өгч чадахгүй.) Энэ нь хүмүүс яагаад сөрөг тоо хэрэглэдэггүй байсныг тайлбарлаж болно. урт хугацаанд.

МЭ 7-р зууны Энэтхэгийн баримт бичгүүдэд сөрөг тоо гарч ирдэг; Хятадууд тэднийг арай эрт ашиглаж эхэлсэн бололтой. Тэдгээрийг өрийг тооцох эсвэл тэгшитгэлийн шийдлийг хялбарчлах завсрын тооцоололд ашигласан - энэ нь зөвхөн эерэг хариулт авах хэрэгсэл байв. Сөрөг тоо нь эерэг тооноос ялгаатай нь ямар нэгэн аж ахуйн нэгжийн оршихуйг илэрхийлдэггүй нь хүчтэй үл итгэх байдлыг төрүүлэв. Энэ үгийн шууд утгаараа хүмүүс сөрөг тооноос зайлсхийдэг: хэрэв асуудал сөрөг хариулттай бол тэд огт хариулт байхгүй гэж үздэг. Энэхүү үл итгэх байдал маш удаан үргэлжилсэн бөгөөд орчин үеийн математикийн "үндэслэгчдийн" нэг болох Декарт хүртэл тэднийг "худал" гэж нэрлэсэн (17-р зуунд!).

Жишээлбэл, тэгшитгэлийг авч үзье 7х - 17 = 2х - 2. Үүнийг ингэж шийдэж болно: үл мэдэгдэх нэр томъёог зүүн тал руу, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлээрэй. 7х - 2х = 17 - 2 , 5х = 15 , x=3. Энэ шийдлээр бид сөрөг тоотой ч уулзаагүй.

Гэхдээ санамсаргүйгээр үүнийг өөрөөр хийж болно: үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, аваарай 2 - 17 = 2x - 7x, (–15) ​​= (–5) х. Үл мэдэгдэхийг олохын тулд та нэг сөрөг тоог нөгөөд хуваах хэрэгтэй. x = (–15)/(–5). Гэхдээ зөв хариулт нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд үүнийг дүгнэх хэрэгтэй (–15)/(–5) = 3 .

Энэ энгийн жишээ юуг харуулж байна вэ? Нэгдүгээрт, сөрөг тоонуудын үйлдлийн дүрмийг тодорхойлсон логик нь тодорхой болно. Эдгээр үйлдлийн үр дүн нь сөрөг тоогүйгээр өөр аргаар олж авсан хариултуудтай тохирч байх ёстой. Хоёрдугаарт, сөрөг тоог ашиглахыг зөвшөөрснөөр бид уйтгартай (хэрэв тэгшитгэл нь илүү төвөгтэй, олон тооны нэр томъёотой бол) бүх үйлдлийг зөвхөн натурал тоон дээр гүйцэтгэдэг шийдлийн замыг хайхаас ангижрах болно. Түүгээр ч барахгүй, бид хувиргаж буй хэмжигдэхүүнүүдийн утга учирын талаар цаг бүр бодохоо больсон бөгөөд энэ нь математикийг хийсвэр шинжлэх ухаан болгон хувиргах алхам юм.

Сөрөг тоон дээрх үйлдлийн дүрмийг тэр даруйд нь гаргаагүй боловч хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэх үед гарч ирсэн олон жишээнүүдийн ерөнхий дүрмүүд болжээ. Ерөнхийдөө математикийн хөгжлийг нөхцөлт байдлаар үе шатуудад хувааж болно: дараагийн үе шат бүр нь объектыг судлах шинэ түвшний хийсвэрлэлээр өмнөх үе шатуудаас ялгаатай. Тиймээс 19-р зуунд математикчид бүхэл тоонууд болон олон гишүүнтүүд гаднаасаа ялгаатай байдгаараа ижил төстэй зүйл байдгийг ойлгосон: хоёуланг нь нэмж, хасаж, үржүүлж болно. Эдгээр үйлдлүүд нь тооны хувьд ч, олон гишүүнтийн хувьд ч ижил хуулиудад захирагддаг. Гэвч үр дүн нь дахин бүхэл тоо болохын тулд бүхэл тоонуудыг хооронд нь хуваах нь үргэлж боломжгүй байдаг. Олон гишүүнтийн хувьд ч мөн адил.

Дараа нь ийм үйлдлүүдийг гүйцэтгэх боломжтой математикийн объектуудын бусад цуглуулгуудыг олж илрүүлсэн: албан ёсны хүчний цуваа, тасралтгүй функцууд ... Эцэст нь, хэрэв та үйлдлүүдийн шинж чанарыг өөрсдөө судалж үзвэл үр дүнг эдгээр бүх зүйлд ашиглаж болно гэсэн ойлголт ирсэн. объектын цуглуулга (энэ арга нь орчин үеийн бүх математикийн хувьд ердийн зүйл юм).

Үүний үр дүнд шинэ ойлголт гарч ирэв: бөгж. Энэ бол зүгээр л олон тооны элементүүд ба тэдгээр дээр хийж болох үйлдлүүд юм. Энд байгаа үндсэн дүрмүүд нь зөвхөн дүрмүүд юм (тэдгээрийг гэж нэрлэдэг аксиомууд) олонлогийн элементүүдийн шинж чанар биш харин үйлдлүүд хамаарах болно (энэ нь хийсвэрлэлийн шинэ түвшин юм!). Аксиомуудыг оруулсны дараа үүсдэг бүтэц нь чухал гэдгийг онцлон тэмдэглэхийг хүсч буй математикчид: бүхэл тооны цагираг, олон гишүүнтийн цагираг гэх мэт. Аксиомуудаас эхлээд цагирагуудын бусад шинж чанарыг гаргаж авч болно.

Бид цагирагийн аксиомуудыг томъёолох болно (энэ нь мэдээж бүхэл тоонуудтай ажиллах дүрэмтэй төстэй), дараа нь ямар ч цагирагт хасахыг хасахаар үржүүлэх нь нэмэх үр дүнд хүрдэг гэдгийг батлах болно.

бөгжЭнэ нь уламжлалт байдлаар нэмэх, үржүүлэх гэж нэрлэгддэг хоёртын хоёр үйлдэлтэй (өөрөөр хэлбэл, цагирагийн хоёр элемент үйлдэл бүрт оролцдог) олонлог бөгөөд дараах аксиомууд юм.

  • цагирагийн элементүүдийн нэмэлт нь солигддог ( A + B = B + Aаливаа элементийн хувьд Аболон Б) ба ассоциатив ( A + (B + C) = (A + B) + C) хууль тогтоомж; цагираг нь тусгай элемент 0 (нэмэлтээр төвийг сахисан элемент) агуулсан байдаг A + 0 = A, аль ч элементийн хувьд Аэсрэг элемент байна (тэмдэглэсэн (–A)), юу A + (–A) = 0 ;
  • Үржүүлэх нь хослолын хуулийг дагаж мөрддөг. A (B C) = (A B) C ;
  • Нэмэх ба үржүүлэх нь дараах хаалтанд өргөтгөх дүрмээр холбогдоно. (A + B) C = A C + B Cболон A (B + C) = A B + A C .

Хамгийн ерөнхий бүтэцтэй цагираг нь үржүүлэхийг шаарддаггүй, мөн урвуу (өөрөөр хэлбэл хуваах нь үргэлж боломжгүй байдаг), мөн нэгж байх шаардлагагүй - төвийг сахисан элемент байхыг анхаарна уу. үржүүлэх. Хэрэв эдгээр аксиомуудыг оруулбал бусад алгебрийн бүтцийг олж авах боловч цагиргуудын хувьд батлагдсан бүх теоремууд тэдгээрт үнэн байх болно.

Үүнийг бид ямар ч элементийн хувьд одоо баталж байна Аболон Бдурын цагираг үнэн, нэгдүгээрт, (–A) B = –(A B), хоёрдугаарт (–(–A)) = А. Үүнээс үзэхэд нэгжийн талаархи мэдэгдлүүдийг амархан дагаж болно: (–1) 1 = –(1 1) = –1болон (–1) (–1) = –((–1) 1) = –(–1) = 1 .

Үүний тулд бид зарим баримтыг тогтоох хэрэгтэй. Эхлээд бид элемент бүр зөвхөн нэг эсрэг заалттай болохыг баталж байна. Үнэн хэрэгтээ, элементийг зөвшөөрөх Ахоёр эсрэг заалт байдаг: Бболон -тай. өөрөөр хэлбэл A + B = 0 = A + C. Нийлбэрийг анхаарч үзээрэй A+B+C. Ассоциатив ба солилцооны хууль, тэгийн шинж чанарыг ашигласнаар бид нэг талаас нийлбэр нь тэнцүү байна. Б: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, нөгөө талаас энэ нь тэнцүү байна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. гэсэн үг, B=C .

Одоо үүнийг тэмдэглэе А, ба (–(–A))ижил элементийн эсрэг байна (–A), тиймээс тэд тэнцүү байх ёстой.

Эхний баримт нь дараах байдалтай байна. 0 = 0 B = (A + (–A)) B = A B + (–A) B, өөрөөр хэлбэл (–A) Бэсрэг А Б, тэгэхээр тэнцүү байна –(A B) .

Математикийн хувьд хатуу байхын тулд яагаад гэдгийг тайлбарлая 0 B = 0аливаа элементийн хувьд Б. Үнэхээр, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Энэ нь нэмэлт юм 0 Бхэмжээг өөрчлөхгүй. Тэгэхээр энэ бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү байна.

Мөн цагирагт яг нэг тэг байгааг (эцэст нь аксиомууд ийм элемент байдаг гэж хэлдэг, гэхдээ түүний өвөрмөц байдлын талаар юу ч хэлээгүй!) Бид уншигчдад энгийн дасгал болгон үлдээх болно.

Хариулт нь: Евгений Епифанов

Сэтгэгдэл харуулах (37)

Сэтгэгдэл хураах (37)

    Сайхан хариулт. Харин ахлах сургуулийн нэгдүгээр курсын хувьд. Үүнийг "зай = хурд * цаг" (2-р анги) томъёоны жишээг ашиглан илүү энгийн бөгөөд ойлгомжтой тайлбарлаж болох юм шиг санагдаж байна.

    Бид зам дагуу явж байтал нэг машин биднийг гүйцэж ирээд холдож эхлэв гэж бодъё. Цаг хугацаа өсөн нэмэгдэж, түүнд хүрэх зай нэмэгдэж байна. Ийм машины хурдыг эерэг гэж үзэх болно, жишээлбэл, секундэд 10 метр байж болно. Дашрамд хэлэхэд энэ нь цагт хэдэн миль вэ? 10/1000(км)*60(сек)*60(мин)= 10*3,6=36 км/цаг. Бага зэрэг. Магадгүй зам нь муу байх ...

    Гэтэл бидний зүг ирж буй машин холдохгүй, ойртож байна. Тиймээс түүний хурдыг сөрөг гэж үзэх нь тохиромжтой. Жишээ нь -10 м/сек. Зай багасна: ирж буй машин руу 30, 20, 10 метр. Секунд бүр хасах 10 метр байна. Одоо яагаад хасах нь тодорхой байна? Энд тэр хажуугаар нисч байна. Секундэд түүний зай хэд вэ? Энэ нь зөв, -10 метр, өөрөөр хэлбэл. "10 метрийн ард."

    Энд бид эхний мэдэгдэл байна. (-10 м/сек) * (1 сек) = -10 м.
    Хасах (сөрөг хурд) удаа нэмэх (эерэг цаг) хасах (сөрөг зай, миний ард машин) өгсөн.

    Тэгээд одоо анхаарал - хасахаас хасах. Өөдөөс ирж байсан машин хажуугаар өнгөрөхөөс хэдхэн секундын өмнө хаана байсан бэ? (-10 м/сек) * (- 1 сек) = 10 м.
    Хасах (сөрөг хурд) дахин хасах (сөрөг цаг) = нэмэх (эерэг зай, машин миний урд 10 метр байсан).

    Энэ тодорхой байна уу, эсвэл бүр энгийн жишээг мэдэх хүн байна уу?

    Хариулах

    Тийм ээ, үүнийг батлахад илүү хялбар! 5 * 2 нь эерэг чиглэлд, тоо 5, тоон мөрөнд хойшлуулах хоёр удаа, дараа нь бид тоо 10. 2 * (-5) бол 2 * (-5), дараа нь бид 5 тоогоор хоёр удаа тоолох, гэхдээ аль хэдийн-д. сөрөг чиглэл, мөн бид (-10) тоог авна, одоо 2*(-5)-ийг төлөөлье
    2 * 5 * (-1) \u003d -10, хариултыг өмнөх тооцооллоос дахин бичсэн бөгөөд энэ тооцоонд аваагүй тул тоог (-1) үржүүлэхэд урвуу байна гэж хэлж болно. тоон хоёр туйлын тэнхлэг, i.e. туйлшралыг эргүүлэх. Бидний эерэг тал дээр хойш тавьсан зүйл сөрөг болон эсрэгээрээ болсон. Одоо (-2)*(-5), бид үүнийг (-1)*2*(-5)=(-1)*(-10) гэж бичээд (-10) тоог хойш тавьж, туйлшралыг өөрчилнө. тэнхлэгийн, учир нь . (-1)-ээр үржүүлбэл +10 болно, энэ нь илүү хялбар байсан эсэхийг мэдэхгүй байна уу?

    Хариулах

    • Таны зөв гэж бодож байна. Би зөвхөн таны үзэл бодлыг илүү нарийвчлан харуулахыг хичээх болно, учир нь. Үүнийг хүн бүр ойлгохгүй байгааг би харж байна.
      Хасах гэдэг нь аваад яв гэсэн үг. Хэрэв танаас 1 удаа 5 алим авсан бол эцэст нь танаас 5 алим авсан бөгөөд энэ нь болзолтойгоор хасах тэмдэглэгдсэн байна. - (+5). Эцсийн эцэст, ямар нэгэн байдлаар үйлдлийг тодорхойлох шаардлагатай. Хэрэв 1 алимыг 5 удаа сонгосон бол эцэст нь тэд бас сонгосон: - (+5). Үүний зэрэгцээ, сонгосон алим нь төсөөлөл болсонгүй, учир нь матери хадгалагдах хуулийг хэн ч цуцалсангүй. Эерэг алим нь тэднийг сонгосон хүнд л очдог. Тэгэхээр төсөөллийн тоо байхгүй, + эсвэл - тэмдгээр материйн харьцангуй хөдөлгөөн байдаг. Гэхдээ хэрэв тийм бол дараах оруулга: (-5) * (+1) \u003d -5 эсвэл (+5) * (-1) \u003d -5 нь бодит байдлыг үнэн зөв тусгаагүй бөгөөд зөвхөн нөхцөлт байдлаар илэрхийлнэ. Төсөөлөлтэй тоо байхгүй тул бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүн үргэлж эерэг → "+" (5 * 1) байна. Дараа нь эерэг бүтээгдэхүүнийг үгүйсгэдэг бөгөөд энэ нь хөхүүл → "- +" (5 * 1) гэсэн үг юм. Энд хасах нь нэмэхийг нөхөхгүй, харин үгүйсгэж, байр сууриа эзэлдэг. Дараа нь бид дараахь зүйлийг авна: -(5*1) = -(+5).
      Хоёр хасах тохиолдолд та бичиж болно: "- -" (5 * 1) \u003d 5. "- -" тэмдэг нь "+" гэсэн утгатай, өөрөөр хэлбэл. экспроприаторуудыг хураах. Эхлээд алимыг чамаас авсан, дараа нь чи хүчирхийлэгчээсээ авсан. Үүний үр дүнд бүх алим эерэг хэвээр үлдсэн, зөвхөн сонгон шалгаруулалт явагдсангүй, учир нь. нийгмийн хувьсгал гарсан.
      Ерөнхийдөө үгүйсгэхийг үгүйсгэх нь үгүйсгэх, үгүйсгэх нь хүүхдэд хамаарах бүх зүйлийг арилгадаг нь ойлгомжтой бөгөөд тайлбаргүй байдаг, учир нь. Энэ нь ойлгомжтой. Хүүхдүүдэд насанд хүрэгчид зохиомлоор төөрөлдсөнийг тайлбарлах хэрэгтэй бөгөөд одоо тэд өөрсдөө үүнийг ойлгож чадахгүй байна. Мөн төөрөгдөл нь үйлдлийг үгүйсгэхийн оронд сөрөг тоонуудыг нэвтрүүлсэн явдал юм. сөрөг асуудал. Тиймээс хүүхдүүд яагаад сөрөг бодисыг нэмэхэд нийлбэр сөрөг болж хувирдаг нь нэлээд логик юм: (-5) + (-3) = -8, мөн ижил сөрөг бодисыг үржүүлэхэд: (-5) гэж гайхаж байна. * (-3) = 15 , энэ нь эцэст нь гэнэт эерэг болж хувирдаг нь логик биш юм! Эцсийн эцэст, эерэг бодистой адил сөрөг зүйл тохиолдох ёстой, зөвхөн өөр шинж тэмдэгтэй байх ёстой. Тиймээс сөрөг бодисыг үржүүлэхэд яг сөрөг бодисыг үржүүлэх нь хүүхдэд илүү логиктой санагддаг.
      Гэхдээ энд ч гэсэн бүх зүйл жигд биш, учир нь сөрөг бодисыг үржүүлэхийн тулд зөвхөн нэг тоо хасахтай байхад л хангалттай. Үүний зэрэгцээ сонгосон материалын бодит агуулгыг биш, харин давтагдах хугацааг илэрхийлдэг хүчин зүйлүүдийн нэг нь үргэлж эерэг байдаг, учир нь сөрөг (сонгосон) зүйл давтагдсан ч удаа сөрөг байж болохгүй. Тиймээс үржүүлэх (хуваах) үед дээр дурдсан бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүний (хуваах) өмнө "- +" (5 * 1) эсвэл "- -" (5 * 1) тэмдэг тавих нь илүү зөв юм.
      Мөн хасах тэмдгийг төсөөллийн тооны тэмдэг гэж ойлгохгүй байхын тулд, өөрөөр хэлбэл. сөрөг асуудал, гэхдээ үйлдлийн хувьд насанд хүрэгчид эхлээд хэрэв хасах тэмдэг нь тооны урд байгаа бол энэ нь үргэлж эерэг тоогоор сөрөг үйлдлийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ нь төсөөлөл биш гэдгийг өөр хоорондоо тохиролцох хэрэгтэй. Хэрэв хасах тэмдэг нь өөр тэмдгийн өмнө байгаа бол энэ нь эхний тэмдгээр сөрөг үйлдлийг илэрхийлнэ, өөрөөр хэлбэл. урвуу болгодог. Дараа нь бүх зүйл аяндаа байрандаа орно. Дараа нь та үүнийг хүүхдүүдэд тайлбарлах хэрэгтэй бөгөөд тэд насанд хүрэгчдийн ийм ойлгомжтой дүрмийг төгс ойлгож, сурах болно. Эцсийн эцэст, одоо хэлэлцүүлэгт оролцож буй бүх насанд хүрсэн оролцогчид тайлбарлах боломжгүй зүйлийг тайлбарлахыг оролдож байна, учир нь Энэ асуудалд физик тайлбар байхгүй, энэ бол зүгээр л конвенц, дүрэм юм. Мөн хийсвэрлэлийг хийсвэрээр тайлбарлах нь тавтологи юм.
      Хэрэв хасах тэмдэг нь тоог үгүйсгэж байвал энэ нь биет үйлдэл, харин үйлдлийг өөрөө үгүйсгэдэг бол энэ нь зүгээр л нөхцөлт дүрэм юм. Өөрөөр хэлбэл, хэлэлцэж буй асуултын нэгэн адил сонгон шалгаруулалтаас татгалзвал хэчнээн удаа ч гэсэн сонгон шалгаруулалт байхгүй гэдгийг насанд хүрэгчид зүгээр л хүлээн зөвшөөрсөн! Үүний зэрэгцээ, зүгээр л тоо ч бай, тоонуудын үржвэр ч бай, танд байсан бүх зүйл тантай хамт үлдэнэ. олон сонголт хийх оролдлого. Тэгээд л болоо.
      Хэрэв хэн нэгэн санал нийлэхгүй байвал дахин тайван бодож үзээрэй. Эцсийн эцэст, уулзалт эхлэхээс нэг секундын өмнө сөрөг хурд, сөрөг цаг байдаг машинуудын жишээ нь лавлагааны системтэй холбоотой болзолт дүрэм юм. Өөр нэг лавлагааны хүрээнд ижил хурд, ижил хугацаа эерэг болно. Харааны шилний жишээ нь толинд зөвхөн нөхцөлт байдлаар тусгагдсан хасах нь бие махбодийн хувьд нэмэх зүйл болдоггүй гайхалтай дүрэмтэй холбоотой юм.

      Хариулах

  • Математикийн сул талуудтай бол бүх зүйл ойлгомжтой байх шиг байна. Гэхдээ хэлээр бол үгүйсгэсэн асуулт асуухад яаж хариулах вэ? Жишээлбэл, "Та цай уумаар байна уу?" Гэсэн асуултанд би үргэлж эргэлздэг байсан. Хэрэв би цай хүсч байвал яаж хариулах вэ? Хэрэв та "Тийм" гэж хэлвэл тэд цай өгөхгүй (+ ба - гэх мэт), үгүй ​​бол тэд (- ба -) өгөх ёстой, "Үгүй, би хүсэхгүй байна" гэж хэлэх ёстой ?? ?

    Хариулах

    Ийм хүүхэд шиг асуултанд хариулахын тулд та эхлээд насанд хүрэгчдийн хоёр асуултанд хариулах хэрэгтэй: "Математикийн хасах гэж юу вэ?" болон "Үржүүлэх, хуваах гэж юу вэ?". Миний ойлгож байгаагаар эндээс л асуудал эхэлдэг бөгөөд энэ нь хүүхэд шиг энгийн асуултанд хариулахдаа цагираг болон бусад утгагүй зүйлд хүргэдэг.

    Хариулах

    Хариулт нь энгийн сургуулийн хүүхдүүдэд тохирохгүй нь ойлгомжтой!
    Бага сургуульд байхдаа би Одой ба Аль-Жебрагийн тухай гайхалтай ном уншиж байсан, эсвэл тэд математикийн тойрог дээр жишээ өгсөн байж магадгүй - тэд хоёр хүнийг өөр өөр өнгийн алимтай тэнцүү тэмдгийн эсрэг талд байрлуулж, өгөхийг санал болгосон. бие биедээ алим. Дараа нь тоглоомд оролцогчдын хооронд нэмэх, хасах, илүү, бага гэсэн бусад тэмдгүүдийг байрлуулсан.

    Хариулах

    Хүүхдийн хариулт, тийм үү?))
    Энэ нь харгис сонсогдож магадгүй ч зохиолч өөрөө яагаад хасах нь нэмэх нь нэмдэгийг ойлгохгүй байна :-)
    Дэлхий дээрх бүх зүйлийг нүдээр тайлбарлаж болно, учир нь хийсвэрлэл нь зөвхөн ертөнцийг тайлбарлахад л хэрэгтэй байдаг. Тэд бодит байдалтай холбоотой бөгөөд төөрөгдлийн сурах бичигт бие даан амьдардаггүй.
    Хэдийгээр тайлбар хийхийн тулд та ядаж физик, заримдаа биологи, хүний ​​​​нейрофизиологийн үндсийг мэдэх хэрэгтэй.

    Гэсэн хэдий ч эхний хэсэг нь ойлгох найдвар төрүүлж, сөрөг тоонуудын хэрэгцээг маш тодорхой тайлбарлав.
    Харин хоёр дахь нь уламжлал ёсоор шизофрени рүү шилжсэн. А ба В нь жинхэнэ объект байх ёстой! Жишээ нь, талх, алим авч болох юм бол яагаад тэднийг ийм үсэг гэж нэрлэх вэ?
    Хэрэв .. хэрэв боломжтой байсан бол ... тийм үү?))))))

    Тэгээд ... эхний хэсгийн зөв үндэслэлийг ашигласан ч гэсэн (энэ үржүүлэх нь ижил нэмэгдэл юм) - хасахтай бол зөрчил гарна))
    -2 + -2 = -4
    гэхдээ
    -2 * -2 =+4))))
    мөн бид үүнийг хасах хоёр гэж тооцвол хасах хоёр удаа авсан ч гэсэн энэ нь гарах болно
    -2 -(-2) -(-2) = +2

    Тоонууд нь виртуаль байдаг тул харьцангуй зөв нягтлан бодох бүртгэлийн хувьд би виртуал дүрмүүдийг гаргах шаардлагатай болсон гэдгийг хүлээн зөвшөөрөх нь зүйтэй байв.
    Мөн энэ нь ҮНЭН байх болно, хий хоосон зүйл биш.

    Хариулах

    Түүний жишээн дээр Академон алдаа гаргасан:
    Үнэн хэрэгтээ (-2)+(-2) = (-4) нь 2 дахин (-2), өөрөөр хэлбэл. (-2) * 2 = (-4).
    Хоёр сөрөг тоог үржүүлэхийн хувьд зөрчилдөөнгүй бол энэ нь ижил нэмэгдэл бөгөөд зөвхөн тооны шулуун дээрх "0"-ийн нөгөө талд байна. Тухайлбал:
    (-2) * (-2) = 0 -(-2) -(-2) = 2 + 2 = 4. Тэгэхээр энэ бүхэн нэмэгдэнэ.
    За, сөрөг тоонуудын бодит байдлын хувьд энэ жишээ танд хэр таалагдаж байна вэ?
    Хэрэв миний халаасанд 1000 доллар байгаа бол миний сэтгэл санааг "эерэг" гэж хэлж болно.
    Хэрэв 0$ бол тус тус муж нь "байхгүй" болно.
    Мөн (-1000)$ нь төлөх ёстой өр бол мөнгө байхгүй бол...?

    Хариулах

    Хасахаас хасах - үргэлж нэмэх зүйл байх болно,
    Яагаад ийм зүйл болдог вэ - би хэлж чадахгүй.

    Яагаад -on-=+ намайг 7-р ангид байхдаа (1961) бүр гайхшруулж байсан. Би өөр, илүү "шударга" алгебр гаргаж ирэхийг оролдсон бөгөөд энд + дээр + = +, мөн - дээр - = -. Тиймээс илүү шударга байх болов уу гэж бодсон. Гэхдээ яаж + on- болон -on + -тэй байх вэ? Би xy=yx-ийн шилжих чадварыг алдахыг хүсээгүй, тэгэхгүй бол ажиллахгүй.
    Гэхдээ бид 2 тэмдэгт биш, харин гурван, жишээлбэл +, - ба * тэмдэгтүүдийг авбал яах вэ. Тэгш ба тэгш хэмтэй.

    НЭМЭЛТ
    (+a)+(-a),(+a)+(*a),(*a)+(-a) нь нийлмэл тооны бодит ба төсөөлөлтэй адил (!) нэмдэггүй.
    Гэхдээ үүний тулд (+a)+(-a)+(*a)=0.

    Жишээлбэл, (+6)+(-4)+(*2) гэж юу вэ?

    (+6)=(+2)+(+2)+(+2)
    (-4)=(-2)+(-2)
    (*2)=(*2)
    (+2)+(-2)+(*2)=0
    (+6)+(-4)+(*2)=(+2)+(+2)+(+2)+(-2)+(-2)+(*2)=(+2)+(+2)+(-2)= (+4)+(-2)
    Энэ нь амар биш, гэхдээ та үүнд дасаж болно.

    Одоо ҮРЖҮҮЛЭХ.
    Бид дэвшүүлж байна:
    +on+=+ -on-=- *on*=* (зөв үү?)
    +on-=-on+=* +on*=*on+=- -on*=*on-=+ (шударга!)
    Бүх зүйл зүгээр юм шиг санагдаж байна, гэхдээ үржүүлэх нь ассоциатив биш, өөрөөр хэлбэл.
    a(bc) нь (ab)c-тэй тэнцүү биш.

    Хэрэв тийм бол
    +on+=+ -on-=* *on*=-
    +on-=-on+=- +on*=*on+=* -on*=*on-=+
    Дахин шударга бус, + онцгой гэж тодотгосон. ГЭХДЭЭ гурван тэмдэгттэй ШИНЭ АЛГЕБР мэндэлжээ. Солих, ассоциатив, түгээх. Тэр геометрийн тайлбартай. Энэ нь нийлмэл тоонуудын изоморф юм. Үүнийг цаашид өргөжүүлж болно: дөрвөн тэмдэгт, таван ...
    Өмнө нь ийм зүйл болж байгаагүй. Үүнийг аваарай, хүмүүс ээ, ашигла.

    Хариулах

    Хүүхдийн асуулт бол ерөнхийдөө хүүхдийн хариулт юм.
    Алим, тоглоом, муур, нохой гээд бүх зүйл "нэмэх" байдаг бидний ертөнц байдаг. Та алим идэж болно, муур тэжээж болно. Мөн шилээр дамжсан зохиомол ертөнц бий. Толин тусгал шиг алим, тоглоомууд байдаг, бид тэдгээрийг төсөөлж чаддаг, гэхдээ бид тэдэнд хүрч чадахгүй - тэдгээрийг зохион бүтээсэн. Бид хасах тэмдгийн тусламжтайгаар нэг ертөнцөөс нөгөө ертөнц рүү явж чадна. Хэрэв бидэнд хоёр жинхэнэ алим (2 алим) байгаа бол хасах тэмдэг (-2 алим) тавьбал бид шилэнд зохион бүтээсэн хоёр алим авна. Хасах тэмдэг нь биднийг нэг ертөнцөөс нөгөө ертөнц рүү нааш цааш авчирдаг. Манай дэлхий дээр толин тусгал алим байдаггүй. Бид тэдний бүхэл бүтэн багцыг, бүр нэг саяыг (хасах сая алим) төсөөлж чадна. Зүгээр л та тэдгээрийг идэж чадахгүй, учир нь бидэнд хасах алим байхгүй, манай дэлгүүрт байгаа бүх алим нэмэх алим байна.
    Үржүүлэх гэдэг нь зарим объектыг тэгш өнцөгт хэлбэрээр байрлуулахыг хэлдэг. ":" гэсэн хоёр цэгийг аваад гурваар үржүүлбэл: ": : :" - нийт зургаан оноо авна. Та жинхэнэ алим (+I) аваад гурваар үржүүлбэл "+ЯЯЯ" - гурван жинхэнэ алим авна.
    Одоо алимыг хасах гурваар үржүүл. Бид дахин гурван алим "+ЯЯЯ" авах болно, гэхдээ хасах тэмдэг нь цонхны шилээр дамжин өнгөрөх бөгөөд бид гурван толин тусгал алимтай болно (хасах гурван алим -ЯЯЯ).
    Тэгээд одоо хасах алимыг (-I) хасах гурваар үржүүл. Өөрөөр хэлбэл, бид алим авч, урд нь хасах зүйл байвал бид үүнийг харагдах шил рүү шилжүүлдэг. Тэнд бид үүнийг гурваар үржүүлнэ. Одоо бидэнд гурван толь алим байна! Гэхдээ бас нэг сул тал бий. Тэрээр хүлээн авсан алимыг манай ертөнц рүү буцаан шилжүүлэх болно. Үүний үр дүнд бид гурван жинхэнэ амттай алим + YYYYA авах болно.

    Хариулах

    • Эцсийн алхам хүртэл бүх зүйл сайхан байна. Гурван толин тусгал алимыг нэгээр үржүүлэхэд бид эдгээр алимыг дахин нэг толинд тусгах ёстой. Тэдгээр нь байршлын хувьд бодит байдалтай давхцах боловч анхны толин тусгал шиг төсөөлөлтэй, идэшгүй байх болно. Энэ нь (-1)*(-1)= -1<> 1.

      Үнэндээ би сөрөг тоог үржүүлэхтэй холбоотой өөр нэг зүйлд андуурч байна, тухайлбал:

      Тэгшитгэл үнэн үү:
      ((-1)^1,5)^2 = ((-1)^2)^1,5 = (-1)^3 ?

      Энэ асуулт нь x ба n нь бодит тоо болох y=x^n функцийн графикийн үйлдлийг ойлгох оролдлогоос үүдэлтэй юм.
      n нь тэгш байх тохиолдлоос бусад тохиолдолд функцийн график үргэлж 1 ба 3-р улиралд байрлана. Энэ тохиолдолд зөвхөн графикийн муруйлт өөрчлөгддөг. Гэхдээ n-ийн паритет нь харьцангуй утга юм, учир нь бид n = 1.1 * k гэсэн өөр жишиг хүрээг авч болно.
      y = x^(1.1*k) = (x^1.1)^k
      энд тэгш байдал өөр байх болно ...

      Үүнээс гадна би аргумент дээр y = x^(1/n) функцийн графикт юу тохиолдохыг нэмэхийг санал болгож байна. Функцийн график нь у = х функцийн графиктай харьцуулахад y = x^n графиктай тэгш хэмтэй байх ёстой гэж би үндэслэлгүй гэж бодож байна.

      Хариулах

    "Хасах, хасах нь нэмэх" дүрмийг тайлбарлах хэд хэдэн арга байдаг.Энд хамгийн энгийн нь байна. Байгалийн хувьд үржүүлэх. n тоо нь сегментийн (тооны тэнхлэгт байрладаг) n дахин сунгалт юм. -1-ээр үржүүлэх нь гарал үүсэлтэй холбоотой сегментийн тусгал юм. Яагаад (-1)*(-1) = +1 гэсэн хамгийн товч тайлбарын хувьд энэ арга тохиромжтой.Энэ аргын гацаа нь ийм операторуудын нийлбэрийг тусад нь тодорхойлох шаардлагатай хэвээр байгаа явдал юм.

    Хариулах

    Комплекс тооноос тайлбарлахдаа явж болно
    тоог илэрхийлэх илүү ерөнхий хэлбэр
    Комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр
    Эйлерийн томъёо
    Энэ тохиолдолд тэмдэг нь зүгээр л аргумент юм (эргэлтийн өнцөг)
    Өнцөг нь үржихэд нэмэгддэг
    0 градус нь +-тэй тохирч байна
    180 градус тохирч байна -
    -аар үржүүлэх нь 180+180=360=0-тэй тэнцэнэ

    Хариулах

    Энэ өнхрөх үү?

    Сөрөг талууд нь эсрэгээрээ байдаг. Энгийн болгохын тулд, хасах зүйлээс түр зуур холдохын тулд бид мэдэгдлүүдийг сольж, эхлэлийн цэгийг томруулна. Тэгээс биш 1000-аас тоолж эхэлцгээе.

    Хоёр хүн надад тус бүр хоёр рублийн өртэй гэж бодъё: 2_хүн * 2_рубль \u003d 4_рубль надад нийтдээ өртэй. (миний үлдэгдэл 1004)

    Одоо урвуу тоонууд (сөрөг тоо, харин урвуу/эерэг мэдэгдлүүд):

    хасах 2 хүн = тиймээс тэд надад өргүй, гэхдээ би өртэй (би өртэй гэдгээсээ илүү олон хүнд өртэй). Жишээлбэл, би 10 хүний ​​өртэй, би дөнгөж 8. Харилцан тооцоог багасгаж, үл тоомсорлож болох боловч эерэг тоонуудтай ажиллахад илүү тохиромжтой бол та үүнийг санаж болно. Энэ нь хүн бүр бие биедээ мөнгө өгдөг.

    хасах 2 рубль = ижил төстэй зарчим - та өгөхөөсөө илүү ихийг авах ёстой. Тиймээс би хүн бүрт хоёр рублийн өртэй.

    -(2_хүн)*2_рубль=Би_тус_бүрт_өртэй_2=-4 миний хувьд. Миний үлдэгдэл 996 рубль байна.

    2_хүн*(-2_рубль)=хоёр_надад_2_рубль_авах ёстой=- надаас 4. Миний үлдэгдэл 996 рубль байна.

    -(2_хүн)*(-2_рубль)= тус бүр 2_рубль өгөх ёстой хэмжээнээсээ бага_надад_авах ёстой

    Ерөнхийдөө бүх зүйл 0-ийн эргэн тойронд биш, жишээлбэл, 1000-ийн эргэн тойронд эргэлддэг гэж төсөөлвөл тэд 10-д мөнгө өгч, 8-д аваачиж өгдөг. Дараа нь хэн нэгэнд мөнгө олгох эсвэл авах бүх үйлдлүүдийг дарааллаар гүйцэтгэдэг. , хэрэв нэмэлт хоёр (бид үлдсэнийг нь тороор багасгах болно) надаас буцаж ирэхээс хоёр рубль бага авах юм бол миний сайн сайхан байдал 4 эерэг үзүүлэлтээр нэмэгдэх болно гэсэн дүгнэлтэд хүрээрэй.

    Хариулах

    Асуултанд тавьсан ЭНГИЙН (хүүхдэд ойлгомжтой) хариултыг хайж олохын тулд ("Яагаад хасах нь нэмэх нь нэмдэг") би зохиогчийн санал болгосон нийтлэл болон бүх тайлбарыг хоёуланг нь хичээнгүйлэн уншсан. "Миний дайсны дайсан бол миний найз" гэсэн эпиграф дахь хариулт нь хамгийн амжилттай хариулт гэж би боддог. Илүү тодорхой! Энгийн бөгөөд гайхалтай!

    Нэгэн аялагч нэгэн арал дээр ирж, оршин суугчдынх нь талаар ганцхан зүйлийг мэддэг: тэдний зарим нь зөвхөн үнэнийг хэлдэг, бусад нь зөвхөн худал хэлдэг. Гаднаас нь харахад тэдгээрийг хооронд нь ялгах боломжгүй юм. Аялагч эрэг дээр бууж, замыг харав. Тэр энэ замаар хот руу ордог эсэхийг мэдэхийг хүсч байна. Зам дээр орон нутгийн нэгэн иргэнийг хараад тэр түүнээс ЗӨВХӨН НЭГ асуулт асууж, зам нь хот руу чиглэж байгааг олж мэдэх боломжийг олгов. Тэр яаж энэ тухай асуусан бэ?

    Шийдэл нь гурван мөр доор байна (зүгээр л түр зогсоож, насанд хүрэгчдэд энэ гайхамшигт асуудлын талаар түр зогсоож, эргэцүүлэн бодох боломжийг олгохын тулд!) Гуравдугаар ангийн ач хүү маань асуудалд хэтэрхий хатуу хэвээр байгаа ч хариултыг ойлгосноор түүнийг ойртуулсан нь эргэлзээгүй. удахгүй болох математикийн бодлогуудыг ойлгох. "хасах удаа хасах нь нэмэх" гэх мэт заль мэх.

    Тиймээс хариулт нь:

    "Хэрвээ би чамаас энэ зам хот руу ордог уу гэж асуувал чи надад юу гэж хариулах вэ?"

    "Алгебрийн" тайлбар нь аавыгаа гэсэн халуун хайр, түүний шинжлэх ухааныг гүнээ хүндэтгэх сэтгэлийг минь сэгсэрч чадсангүй. Гэхдээ би ямар ч шалтгаангүй тодорхойлолт бүхий аксиоматик аргыг үүрд үзэн яддаг байсан.

    Сонирхолтой нь, И.В.Арнольдын хүүхдийн асуултад өгсөн энэхүү хариулт нь түүний "Алгебрийн хичээл дэх сөрөг тоо" ном хэвлэгдсэнтэй бараг давхцсан юм. Тэнд (7-р бүлэгт) миний бодлоор маш тодорхой тайлбарласан тэс өөр хариулт өгсөн. Номыг цахим хэлбэрээр http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/neg_numbers.htm хэлбэрээр авах боломжтой.

    Хариулах

    Хэрэв парадокс байгаа бол үндсэн үндэслэлээс алдаа хайх хэрэгтэй. Үржүүлэх томъёололд гурван алдаа гардаг. Эндээс л "парадокс" гарч ирдэг. Та зүгээр л тэг нэмэх хэрэгтэй.

    (-3) x (-4) = 0 - (-3) - (-3) - (-3) - (-3) = 0 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12

    Үржүүлэх гэдэг нь тэг дээр дахин нэмэх (эсвэл тэгээс хасах) юм.

    Үржүүлэгч (4) нь нэмэх, хасах үйлдлүүдийн тоог харуулдаг (нэмэлтээр үржүүлэхийг задлах үед "хасах" эсвэл "нэмэх" тэмдгийн тоо).

    (4) хүчин зүйлийн "хасах" ба "нэмэх" тэмдэг нь үржүүлэгчийг тэгээс хасах эсвэл үржүүлэгчийг тэг рүү нэмэхийг заадаг.

    Тодруулбал, энэ жишээнд (-4) үржүүлэгчийг (-3) тэгээс ("-") дөрөв дахин (4) хасахыг зааж өгсөн.

    Үг хэллэгийг засах (гурван логик алдаа). Зүгээр л тэг нэмнэ үү. Үүнээс арифметикийн дүрэм өөрчлөгдөхгүй.

    Энэ сэдвээр илүү дэлгэрэнгүйг эндээс:

    http://mnemonikon.ru/different_pub_28.htm

    Сурах бичигт механикаар итгэх зуршил юу вэ? Та бас өөрийн гэсэн тархитай байх хэрэгтэй. Ялангуяа парадокс, цагаан толбо, илэрхий зөрчилдөөн байгаа бол. Энэ бүхэн онолын алдааны үр дүн юм.

    Одоогийн үржүүлэх томъёоллын дагуу (тэггүй) хоёр сөрөг тооны үржвэрийг нөхцөл болгон задлах боломжгүй юм. Энэ нь хэн нэгэнд саад болохгүй гэж үү?

    Энэ нь ямар төрлийн үржүүлэх томъёолол вэ, үүний дагуу үржүүлэх боломжгүй юм бэ? :)

    Асуудал нь бас цэвэр сэтгэл зүйн асуудал юм. Эрх баригчдад сохроор итгэх, өөрийнхөөрөө бодох хүсэлгүй байх. Сурах бичигт тэгж бичсэн бол, сургууль тэгж заадаг бол энэ бол туйлын үнэн. Шинжлэх ухаан зэрэг бүх зүйл өөрчлөгддөг. Тэгэхгүй бол соёл иргэншил хөгжихгүй байх байсан.

    Бүх сурах бичигт үржүүлэх үг хэллэгийг засаарай! Үүнээс арифметикийн дүрэм өөрчлөгдөхгүй.

    Түүгээр ч зогсохгүй, дээр дурдсан нийтлэлээс харахад үржүүлэхийн залруулсан томъёолол нь тоог өсгөх томъёололтой төстэй болно. Тэнд ч гэсэн эерэг хүчин чадалд өргөхдөө нэгжийг бичдэггүй. Гэсэн хэдий ч тоог сөрөг түвшинд өсгөхөд нэгийг бичдэг.

    Математикийн эзэн, ээж та үргэлж тэг, нэгийг бичих хэрэгтэй, үр дүн нь тэдний байхгүйгээс өөрчлөгдөхгүй байсан ч гэсэн.

    Товчилсон оруулгуудын утга нь өөрчлөгддөг (эсвэл бүр алга болдог). Сургуулийн хүүхдүүдэд ойлгоход бэрхшээлтэй байдаг.

    Хариулах

    Сэтгэгдэл бичих

    Математикийн багшийг сонсохдоо ихэнх оюутнууд материалыг аксиом гэж ойлгодог. Үүний зэрэгцээ цөөхөн хүн доод тал руугаа орж, "хасах" нь "нэмэх" нь яагаад "хасах" тэмдэг өгч байгааг ойлгохыг хичээдэг бөгөөд хоёр сөрөг тоог үржүүлэхэд эерэг тоо гарч ирдэг.

    Математикийн хуулиуд

    Ихэнх насанд хүрэгчид яагаад ийм зүйл болсныг өөртөө болон хүүхдүүдэд тайлбарлаж чадахгүй. Тэд сургуульд байхдаа энэ материалыг сайтар сурсан боловч ийм дүрэм хаанаас ирснийг олж мэдэхийг оролдсонгүй. Гэхдээ дэмий л. Ихэнхдээ орчин үеийн хүүхдүүд тийм ч итгэмтгий байдаггүй тул асуудлын ёроолд хүрч, "хасах" дээр "нэмэх" нь яагаад "хасах" гэж байгааг ойлгох хэрэгтэй. Заримдаа томчууд насанд хүрэгчид ойлгомжтой хариулт өгч чадахгүй байгаа тэр мөчийг таашаал авахын тулд зориудаар төвөгтэй асуулт асуудаг. Залуу багш асуудалд орвол үнэхээр гамшиг болно ...

    Дашрамд хэлэхэд, дээр дурдсан дүрэм нь үржүүлэх, хуваах аль алинд нь хүчинтэй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Сөрөг ба эерэг тооны үржвэр нь зөвхөн хасах болно. Хэрэв бид "-" тэмдэгтэй хоёр орны тухай ярьж байгаа бол үр дүн нь эерэг тоо байх болно. Хуваалтад ч мөн адил. Хэрэв тоонуудын аль нэг нь сөрөг байвал энэ хэсэг нь "-" тэмдэгтэй байна.

    Математикийн энэ хуулийн зөвийг тайлбарлахын тулд цагирагийн аксиомуудыг томъёолох шаардлагатай. Гэхдээ эхлээд энэ нь юу болохыг ойлгох хэрэгтэй. Математикийн хувьд хоёр элементтэй хоёр үйлдэл оролцсон олонлогийг цагираг гэж нэрлэдэг заншилтай байдаг. Гэхдээ үүнийг жишээгээр ойлгох нь дээр.

    Бөгжний аксиом

    Математикийн хэд хэдэн хууль байдаг.

    • Тэдний эхнийх нь нүүлгэн шилжүүлэх боломжтой, түүний хэлснээр C + V = V + C.
    • Хоёр дахь нь ассоциатив (V + C) + D = V + (C + D) гэж нэрлэгддэг.

    Үржүүлэх (V x C) x D \u003d V x (C x D) нь мөн тэдгээрийг дагаж мөрддөг.

    Хаалт нээх дүрмийг хэн ч цуцлаагүй (V + C) x D = V x D + C x D, C x (V + D) = C x V + C x D гэдэг нь бас үнэн юм.

    Нэмж дурдахад, цагирагт нэмэлт, төвийг сахисан тусгай элемент оруулах боломжтой болох нь тогтоогдсон бөгөөд үүнийг ашигласнаар дараах үнэн байх болно: C + 0 = C. Үүнээс гадна, C бүрийн хувьд эсрэг талын элемент байдаг бөгөөд үүнийг ашиглаж болно. (-C) гэж тэмдэглэнэ. Энэ тохиолдолд C + (-C) \u003d 0 байна.

    Сөрөг тоонуудын аксиомын гарал үүсэл

    Дээрх мэдэгдлүүдийг хүлээн авснаар бид "хасах" дээрх "нэмэх" нь ямар тэмдгийг өгөх вэ? Сөрөг тоог үржүүлэх аксиомыг мэдэхийн тулд үнэхээр (-C) x V = - (C x V) гэдгийг батлах шаардлагатай. Мөн дараах тэгш байдал үнэн байна: (-(-C)) = C.

    Үүнийг хийхийн тулд эхлээд элемент тус бүр нь зөвхөн нэг эсрэг талын "ах"-тай гэдгийг батлах ёстой. Дараах нотлох жишээг авч үзье. C - V ба D хоёрын эсрэг хоёр тоо байна гэж төсөөлөхийг хичээцгээе. Үүнээс үзэхэд C + V = 0 ба C + D = 0, өөрөөр хэлбэл C + V = 0 = C + D. Шилжилтийн хуулиудыг санах нь мөн 0 тооны шинж чанаруудын талаар бид бүх гурван тооны нийлбэрийг авч үзэж болно: C, V ба D. V-ийн утгыг олохыг хичээцгээе. V = V + 0 = V + (C +) байх нь логик юм. D) = V + C + D, учир нь дээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн C + D-ийн утга 0-тэй тэнцүү байна. Иймээс V = V + C + D.

    D-ийн утгыг ижил аргаар гаргана: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Үүний үндсэн дээр V = D болох нь тодорхой болно.

    Гэсэн хэдий ч "хасах" дээрх "нэмэх" нь "хасах" гэсэн утгатай болохыг ойлгохын тулд та дараахь зүйлийг ойлгох хэрэгтэй. Тиймээс (-C) элементийн хувьд эсрэгээр нь C ба (-(-C)), өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь хоорондоо тэнцүү байна.

    Дараа нь 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V гэдэг нь тодорхой байна. Үүнээс үзэхэд C x V нь (-) C x V-ийн эсрэг байна. , энэ нь (- C) x V = - (C x V) гэсэн үг юм.

    Математикийн бүрэн нарийвчлалын хувьд аливаа элементийн хувьд 0 x V = 0 гэдгийг батлах шаардлагатай. Хэрэв та логикийг дагаж мөрдвөл 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Энэ нь 0 x V бүтээгдэхүүнийг нэмэхэд тогтоосон хэмжээг ямар ч байдлаар өөрчлөхгүй гэсэн үг юм. Эцсийн эцэст, энэ бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна.

    Эдгээр бүх аксиомуудыг мэдэж байгаа тул "хасах" -аар "нэмэх" нь хэр их болохыг төдийгүй сөрөг тоог үржүүлснээр юу болохыг олж мэдэх боломжтой юм.

    "-" тэмдгээр хоёр тоог үржүүлэх, хуваах

    Хэрэв та математикийн нарийн ширийн зүйлийг судлахгүй бол сөрөг тоонуудын үйлдлийн дүрмийг илүү энгийн байдлаар тайлбарлахыг оролдож болно.

    C - (-V) = D, үүн дээр үндэслэн C = D + (-V), өөрөөр хэлбэл C = D - V байна гэж бодъё. Бид V-г шилжүүлж, бид C + V = D гэдгийг авна. Өөрөөр хэлбэл C + V = C - (-V). Энэ жишээ нь дараалсан хоёр "хасах" илэрхийлэлд дурдсан тэмдгүүдийг "нэмэх" болгон өөрчлөх ёстойг тайлбарлав. Одоо үржүүлэх асуудлыг авч үзье.

    (-C) x (-V) \u003d D, илэрхийлэлд хоёр ижил бүтээгдэхүүнийг нэмж хасах боломжтой бөгөөд энэ нь түүний утгыг өөрчлөхгүй: (-C) x (-V) + (C x V) - (C) x V) \u003d D.

    Хаалттай ажиллах дүрмийг санаж, бид дараахь зүйлийг олж авна.

    1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

    2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

    3) (-C) x 0 + C x V = D;

    Үүнээс үзэхэд C x V \u003d (-C) x (-V).

    Үүний нэгэн адил бид хоёр сөрөг тоог хуваах үр дүн эерэг байх болно гэдгийг баталж чадна.

    Математикийн ерөнхий дүрмүүд

    Мэдээжийн хэрэг, ийм тайлбар нь хийсвэр сөрөг тоонуудыг сурч эхэлж буй бага ангийн сурагчдад тохиромжгүй юм. Тэд нүдэнд харагдахуйц зүйл дээр тайлбарлаж, танил болсон нэр томъёог харагдах шилээр дамжуулан тайлбарлах нь дээр. Жишээлбэл, зохион бүтээсэн, гэхдээ байхгүй тоглоомууд тэнд байрладаг. Тэдгээрийг "-" тэмдгээр харуулж болно. Хоёр харагдах шилний объектыг үржүүлснээр тэдгээрийг өөр ертөнц рүү шилжүүлдэг бөгөөд энэ нь одоогийнхтой тэнцэж байгаа бөгөөд үүний үр дүнд бид эерэг тоотой болно. Гэхдээ хийсвэр сөрөг тоог эерэг тоогоор үржүүлэх нь зөвхөн хүн бүрт танил болсон үр дүнг өгдөг. Эцсийн эцэст, "нэмэх" -ийг "хасах" -аар үржүүлснээр "хасах" болно. Хүүхдүүд математикийн бүх нарийн ширийн зүйлийг судлахын тулд тийм ч их хичээдэггүй нь үнэн.

    Хэдийгээр та үнэнтэй тулгарвал олон хүн, тэр байтугай дээд боловсролтой ч гэсэн олон дүрэм нууц хэвээр үлддэг. Математикийн ээдрээтэй бүх нарийн ширийнийг судлахын тулд хүн бүр багшийнхаа зааж өгсөн зүйлийг энгийн зүйл мэт хүлээн авдаг. "Хасах" дээрх "хасах" нь "нэмэх" -ийг өгдөг - энэ талаар хүн бүр мэддэг. Энэ нь бүхэл тоо болон бутархай тоонуудын хувьд үнэн юм.



    Нийтлэл таалагдсан уу? Найзуудтайгаа хуваалцах!