ไซน์ (sin x) และโคไซน์ (cos x) - คุณสมบัติ กราฟ สูตร ทฤษฎีบทโคไซน์

ไซน์ (sin x) และโคไซน์ (cos x) - คุณสมบัติ กราฟ สูตร ทฤษฎีบทโคไซน์

ทฤษฎีบทโคไซน์เป็นการสรุปทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

คำชี้แจงของทฤษฎีบทโคไซน์

สำหรับสามเหลี่ยมแบนด้วย ด้าน a,b,cและมุม α ด้านตรงข้าม a, ความสัมพันธ์ถูกต้อง:



สูตรทฤษฎีบทโคไซน์ที่มีประโยชน์:

ดังที่เห็นได้จากด้านบน โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ คุณสามารถค้นหาไม่เพียงแต่ด้านของสามเหลี่ยมที่มีสองด้านและมุมระหว่างพวกมันเท่านั้น คุณยังสามารถทราบมิติของทุกด้านของสามเหลี่ยม กำหนดโคไซน์ของทั้งหมดได้ มุม และยังคำนวณค่าของมุมใด ๆ ของสามเหลี่ยม การคำนวณมุมใดๆ ของรูปสามเหลี่ยมด้านข้างเป็นผลมาจากการแปลงสูตรของทฤษฎีบทโคไซน์

การพิสูจน์ทฤษฎีบทโคไซน์

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC ตามอำเภอใจ สมมติว่าเรารู้ขนาดของด้าน AC (เท่ากับจำนวนที่กำหนด b) ขนาดของด้าน AB (เท่ากับจำนวนที่กำหนด c) และมุมระหว่างด้านเหล่านี้ซึ่งมีค่าเท่ากับ ถึง α ค้นหาค่าของด้าน BC (แสดงความยาวผ่านตัวแปร a)

เพื่อเป็นหลักฐาน ทฤษฎีบทโคไซน์มาสร้างสิ่งปลูกสร้างเพิ่มเติมกันเถอะ จากจุดยอด C ไปด้าน AB เราลดความสูง CD
จงหาความยาวของด้าน AB ดังจะเห็นได้จากรูปจากการก่อสร้างเพิ่มเติม เราสามารถพูดได้ว่า
AB=AD+BD

หาความยาวของเซกเมนต์ AD จากข้อเท็จจริงที่ว่าสามเหลี่ยม ADC เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เราทราบความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก (b) และมุม (α) จากนั้นหาค่าของด้าน AD ได้จากอัตราส่วนของด้านโดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติใน สามเหลี่ยมมุมฉาก:

AD / AC = cosα
ที่ไหน
AD = AC cos α
AD = b cos α

เราพบว่าความยาวของด้าน BD เป็นความแตกต่างระหว่าง AB และ AD:
BD=AB-AD
BD = c − b cos α

ทีนี้ลองเขียนทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป ADC และ BDC:
สำหรับสามเหลี่ยม BDC
CD 2 + BD 2 = BC 2
สำหรับสามเหลี่ยม ADC
CD 2 + AD 2 = AC 2

สังเกตว่าสามเหลี่ยมทั้งสองมีด้านร่วมกัน - ซีดี ลองกำหนดความยาวของสามเหลี่ยมแต่ละรูป - เราจะเอาค่าออกไปทางด้านซ้ายของนิพจน์ และส่วนที่เหลือ - ไปทางขวา
ซีดี2= BC 2 - BD 2
ซีดี2= AC 2 - AD 2

เนื่องจากด้านซ้ายของสมการ (กำลังสองของด้านซีดี) เท่ากัน เราจึงนำส่วนด้านขวาของสมการมาเท่ากัน:
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2

จากการคำนวณที่ทำไว้ก่อนหน้านี้ เรารู้อยู่แล้วว่า:
AD = b cos α
BD = c − b cos α
AC = ข(ตามเงื่อนไข)

และค่าของด้าน BC จะแสดงเป็น เอ.
BC=a
(นั่นคือสิ่งที่เราต้องค้นหา)

BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
มาแทนที่การกำหนดตัวอักษรด้านข้างด้วยผลลัพธ์การคำนวณของเรา
a 2 - ( c − b cos α ) 2 = b 2 - (b cos α ) 2
เราโอนค่าที่ไม่รู้จัก (a) ไปทางซ้ายและส่วนที่เหลือของสมการไปทางขวา
a 2 = (c − b cos α ) 2 + b 2 - (b cos α ) 2
เปิดวงเล็บ
a 2 \u003d b 2 + c 2 - 2c b cos α + (b cos α) 2 - (b cos α) 2
เราได้รับ
a 2 \u003d b 2 + c 2 - 2bc cos α

ทฤษฎีบทโคไซน์ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทโคไซน์คืออะไร? ลองนึกภาพ นี่คือ ... ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ

ทฤษฎีบทโคไซน์: สูตร

ทฤษฎีบทโคไซน์กล่าวว่า:สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม เท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยม ลบสองเท่าของผลคูณของด้านเหล่านั้น คูณ โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

และตอนนี้ฉันอธิบายว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น และทฤษฎีบทพีทาโกรัสอยู่ที่ไหน

ท้ายที่สุดแล้ว ทฤษฎีบทพีทาโกรัสพูดว่าอย่างไร?

แล้วจะเกิดอะไรขึ้นถ้าพูดคม?

ถ้ามันโง่ล่ะ?

ตอนนี้เราจะค้นพบหรือมากกว่านั้นเราจะกำหนดไว้ก่อนแล้วเราจะพิสูจน์

ดังนั้น สำหรับสามเหลี่ยมใดๆ (และมุมแหลม มุมป้าน และแม้แต่มุมฉาก!) สามเหลี่ยมใดๆ ก็เป็นจริง ทฤษฎีบทโคไซน์

ทฤษฎีบทโคไซน์:

คืออะไรและ?

สามารถแสดงจากรูปสามเหลี่ยม (สี่เหลี่ยม!)

และที่นี่ (อีกครั้งจาก)

เราแทนที่:

เราเปิดเผย:

เราใช้อะไรและ ... ทุกอย่าง!

กรณีที่ 2: ปล่อย

นั่นมันโง่

และตอนนี้ ความสนใจ ความแตกต่าง!

ที่ตอนนี้อยู่ข้างนอกใช่มั้ย

เราจำได้ว่า

(อ่านหัวข้อถ้าลืมว่าทำไมหมด)

ดังนั้น - นั่นคือทั้งหมด! ความแตกต่างจบลงแล้ว!

เหมือนเดิม นั่นคือ:

คดีสุดท้ายยังคงอยู่

กรณีที่ 3: ปล่อย

ดังนั้น, . แต่แล้วทฤษฎีบทโคไซน์ก็กลายเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ทฤษฎีบทโคไซน์มีประโยชน์ในข้อใด

ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณมี กำหนดสองด้านของสามเหลี่ยมและมุมระหว่างพวกมันแล้วคุณทันที หาบุคคลที่สามได้ไหม.

หรือถ้าคุณ ให้ทั้งสามด้านแล้วจะพบกับ โคไซน์มุมใดก็ได้ตามสูตร

และแม้ว่าคุณจะ ให้สองด้านและมุมไม่ระหว่างพวกเขาจากนั้นสามารถหาด้านที่สามได้โดยการแก้สมการกำลังสอง จริงอยู่ ในกรณีนี้ บางครั้งจะได้คำตอบสองข้อ และคุณต้องคิดออกว่าจะเลือกข้อใด หรือปล่อยทั้งสองไว้

พยายามนำไปใช้และไม่ต้องกลัว ทฤษฎีบทโคไซน์เกือบจะใช้งานง่ายพอๆ กับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทของโคไซน์ สั้น ๆ เกี่ยวกับ MAIN

ทฤษฎีบทโคไซน์:สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านของสามเหลี่ยม เท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ ลบ สองเท่าของผลคูณของด้านเหล่านั้น คูณ โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน:

เอาล่ะ หัวข้อจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถควบคุมบางสิ่งได้ด้วยตนเอง และถ้าคุณอ่านจนจบ คุณอยู่ใน 5%!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณได้คิดออกทฤษฎีในหัวข้อนี้ และขอย้ำอีกครั้งว่า ... มันสุดยอดมาก! คุณดีกว่าเพื่อนส่วนใหญ่ของคุณอยู่แล้ว

ปัญหาคือแค่นี้อาจไม่เพียงพอ ...

เพื่ออะไร?

เพื่อความสำเร็จ สอบผ่านสำหรับการเข้าศึกษาในสถาบันด้วยงบประมาณและที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใดฉันจะพูดสิ่งหนึ่ง ...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะได้รับมากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาดังกล่าว) อาจเป็นเพราะมีโอกาสมากขึ้นต่อหน้าพวกเขาและชีวิตก็สดใสขึ้น? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเอง...

ต้องทำอย่างไรจึงจะเก่งกว่าคนอื่นๆ ในข้อสอบ และในที่สุด ... มีความสุขมากขึ้น?

กรอกมือของคุณเพื่อแก้ปัญหาในหัวข้อนี้

ในการสอบคุณจะไม่ถูกถามทฤษฎี

คุณจะต้องการ แก้ปัญหาตรงเวลา.

และถ้าคุณยังไม่ได้แก้ปัญหา (จำนวนมาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ ที่ไหนสักแห่งหรือไม่สามารถทำมันได้ทันเวลา

เหมือนอยู่ในกีฬา - คุณต้องทำซ้ำหลายครั้งเพื่อชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันได้ทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นด้วยการแก้ปัญหาการวิเคราะห์รายละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และเราแนะนำพวกเขาอย่างแน่นอน

เพื่อที่จะได้รับความช่วยเหลือจากงานของเรา คุณต้องช่วยยืดอายุตำราเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

  1. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
  2. ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมด 99 บทความของบทช่วยสอน - ซื้อตำราเรียน - 899 รูเบิล

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนและเข้าถึงงานทั้งหมดและเปิดอ่านข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุของไซต์

สรุปแล้ว...

หากคุณไม่ชอบงานของเรา หาคนอื่น อย่าหยุดแค่ทฤษฎี

“เข้าใจ” กับ “ฉันรู้วิธีแก้ปัญหา” เป็นทักษะที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

พบปัญหาและแก้ไข!

ทฤษฎีบทโคไซน์- ทฤษฎีบทของเรขาคณิตแบบยุคลิดซึ่งสรุปทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทโคไซน์:

สำหรับสามเหลี่ยมแบนที่มีด้าน เอ, , และมุม α ซึ่งอยู่ตรงข้ามกับด้านข้าง เอ, ความสัมพันธ์ถูกต้อง:

เอ 2 = 2 + 2 - 2 bc cosα.

กำลังสองของด้านของสามเหลี่ยม เท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีก 2 ด้านที่เหลือ ลบสองเท่าของผลคูณของด้านเหล่านั้น คูณ โคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

ข้อพิสูจน์จากทฤษฎีบทโคไซน์

  • ทฤษฎีบทโคไซน์ใช้เพื่อกำหนด cosมุมสามเหลี่ยม:

หากเจาะจง:

  • เมื่อไร 2 + 2 - เอ 2 > 0 , มุม α จะคม
  • เมื่อไร 2 + 2 - เอ 2 = 0 , มุม α จะตรง (เมื่อมุม α ตรงซึ่งหมายความว่าทฤษฎีบทโคไซน์เข้าสู่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส);
  • เมื่อไร 2 + 2 - เอ 2 < 0 , มุม α จะใบ้

การพิสูจน์ทฤษฎีบทโคไซน์แบบคลาสสิก

ให้มีสามเหลี่ยม ABC. จากด้านบน ด้านข้าง ABลดความสูงลง ซีดี. วิธี:

AD = b cos α,

DB = c - b cos α

เราเขียนทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูป ADCและ bdc:

ชั่วโมง 2 \u003d b 2 - (b cos α) 2 (1)

ชั่วโมง 2 \u003d a 2 - (c - b cos α) 2 (2)

เราจัดส่วนที่ถูกต้องของสมการ (1) และ (2):

b 2 - (b cos α) 2 \u003d a 2 - (c - b cos α) 2

a 2 \u003d b 2 + c 2 - 2bc cos α

หากมุมใดมุมหนึ่งที่ฐานเป็นป้าน (ความสูงอยู่บนความต่อเนื่องของฐาน) ก็จะคล้ายกับที่กล่าวไว้ข้างต้นทั้งหมด

กำหนดข้าง และ :

b 2 \u003d a 2 + c 2 - 2ac cos β

c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2ab cos γ

อยู่ตรงกลางจุด อา.
α เป็นมุมที่แสดงเป็นเรเดียน

คำนิยาม
ไซนัสเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาตรงข้าม |BC| ถึงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

โคไซน์ (cos α)เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุม α ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของขาที่อยู่ติดกัน |AB| ถึงความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก |AC|

ตำแหน่งที่ยอมรับ

;
;
.

;
;
.

กราฟของฟังก์ชันไซน์ y = บาป x

กราฟของฟังก์ชันโคไซน์ y = cos x


คุณสมบัติของไซน์และโคไซน์

เป็นระยะ

ฟังก์ชัน y= บาป xและ y= cos xเป็นระยะกับช่วงเวลา 2 ปี.

ความเท่าเทียมกัน

ฟังก์ชันไซน์เป็นเลขคี่ ฟังก์ชันโคไซน์มีค่าเท่ากัน

โดเมนของความหมายและค่า, สุดขั้ว, เพิ่มขึ้น, ลดลง

ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์มีความต่อเนื่องในโดเมนของคำจำกัดความ นั่นคือสำหรับ x ทั้งหมด (ดูการพิสูจน์ความต่อเนื่อง) คุณสมบัติหลักของพวกเขาถูกนำเสนอในตาราง (n - จำนวนเต็ม)

y= บาป x y= cos x
ขอบเขตและความต่อเนื่อง - ∞ < x < + ∞ - ∞ < x < + ∞
ช่วงของค่า -1 ≤ y ≤ 1 -1 ≤ y ≤ 1
จากน้อยไปมาก
จากมากไปน้อย
ค่าสูงสุด y= 1
มินิมา y ​​= - 1
ศูนย์, y= 0
จุดตัดกับแกน y, x = 0 y= 0 y= 1

สูตรพื้นฐาน

ผลรวมของไซน์กำลังสองและโคไซน์

สูตรไซน์และโคไซน์สำหรับผลรวมและส่วนต่าง



;
;

สูตรสำหรับผลคูณของไซน์และโคไซน์

สูตรผลรวมและผลต่าง

การแสดงออกของไซน์ผ่านโคไซน์

;
;
;
.

การแสดงออกของโคไซน์ผ่านไซน์

;
;
;
.

การแสดงออกในรูปของแทนเจนต์

; .

สำหรับ เรามี:
; .

ที่ :
; .

ตารางของไซน์และโคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์

ตารางนี้แสดงค่าของไซน์และโคไซน์สำหรับค่าบางค่าของการโต้แย้ง

นิพจน์ผ่านตัวแปรที่ซับซ้อน


;

สูตรออยเลอร์

นิพจน์ในแง่ของฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

;
;

อนุพันธ์

; . ที่มาของสูตร > > >

อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
{ -∞ < x < +∞ }

ซีแคนต์, โคซีแคนต์

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันผกผันของไซน์และโคไซน์คืออาร์กไซน์และอาร์คโคไซน์ตามลำดับ

Arcsine, อาร์คซิน

อาร์โคไซน์, อาร์คโคส

ข้อมูลอ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์, เค.เอ. Semendyaev, Handbook of Mathematics for Engineers and Students of Higher Educational Institutions, Lan, 2009.

ไม่ใช่เด็กนักเรียนทุกคนและแม้แต่ผู้ใหญ่ที่รู้ว่าทฤษฎีบทโคไซน์เกี่ยวข้องโดยตรงกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นหลังเป็นกรณีพิเศษของอดีต ประเด็นนี้ เช่นเดียวกับสองวิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทโคไซน์ จะช่วยให้คุณกลายเป็นบุคคลที่มีความรู้มากขึ้น นอกจากนี้ การฝึกแสดงปริมาณจากนิพจน์เริ่มต้นยังพัฒนาได้ดีอีกด้วย การคิดอย่างมีตรรกะ. สูตรยาวของทฤษฎีบทภายใต้การศึกษาจะทำให้คุณทำงานหนักและปรับปรุงอย่างแน่นอน

การเริ่มต้นการสนทนา: แนะนำสัญกรณ์

ทฤษฎีบทนี้จัดทำขึ้นและพิสูจน์แล้วว่าเป็นสามเหลี่ยมโดยพลการ ดังนั้นจึงสามารถใช้ได้เสมอในทุกสถานการณ์หากมีสองด้านและในบางกรณีมีสามมุมและไม่จำเป็นต้องอยู่ระหว่างกัน ไม่ว่ารูปสามเหลี่ยมประเภทใด ทฤษฎีบทจะได้ผลเสมอ

และตอนนี้เกี่ยวกับการกำหนดปริมาณในทุกนิพจน์ เป็นการดีกว่าที่จะตกลงทันทีเพื่อไม่ให้อธิบายหลายครั้งในภายหลัง สำหรับสิ่งนี้ ได้รวบรวมตารางต่อไปนี้

สูตรและสัญกรณ์คณิตศาสตร์

ดังนั้น ทฤษฎีบทโคไซน์จึงมีสูตรดังนี้:

สี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือลบสองเท่าของผลคูณของด้านเดียวกันและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน

แน่นอนว่ามันยาว แต่ถ้าคุณเข้าใจแก่นแท้ของมัน มันก็จะจำง่าย คุณยังสามารถจินตนาการถึงการวาดรูปสามเหลี่ยม จดจำด้วยสายตาได้ง่ายกว่าเสมอ

สูตรของทฤษฎีบทนี้จะมีลักษณะดังนี้:

ยาวหน่อย แต่ทุกอย่างมีเหตุผล หากมองให้ละเอียดขึ้นอีกนิด จะเห็นว่าตัวอักษรซ้ำกัน ซึ่งหมายความว่าจำไม่ยาก

หลักฐานทั่วไปของทฤษฎีบท

เนื่องจากใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด จึงสามารถเลือกประเภทใดก็ได้สำหรับการให้เหตุผล ปล่อยให้มันเป็นร่างที่มีมุมแหลมคมทั้งหมด พิจารณาสามเหลี่ยมมุมแหลมตามอำเภอใจซึ่งมีมุม C มากกว่ามุม B จากจุดยอดที่มีมุมขนาดใหญ่นี้ ต้องลดแนวตั้งฉากลงไปยังด้านตรงข้าม ความสูงที่วาดแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองสี่เหลี่ยม สิ่งนี้จำเป็นสำหรับการพิสูจน์

ด้านข้างจะแบ่งออกเป็นสองส่วน: x, y ต้องแสดงในรูปของปริมาณที่ทราบ ส่วนที่จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ b จะแสดงผ่านสัญกรณ์:

x \u003d b * cos A.

อีกอันจะเท่ากับความแตกต่างนี้:

y \u003d c - ใน * cos A.

ตอนนี้ เราต้องเขียนทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่เกิดจากการก่อสร้าง โดยใช้ความสูงเป็นค่าที่ไม่ทราบค่า สูตรเหล่านี้จะมีลักษณะดังนี้:

n 2 \u003d ใน 2 - (ใน * cos A) 2,

n 2 \u003d a 2 - (c - ใน * cos A) 2

ในความเท่าเทียมกันเหล่านี้ มีนิพจน์เหมือนกันทางด้านซ้าย ซึ่งหมายความว่าด้านขวามือของพวกเขาจะเท่ากัน มันง่ายที่จะเขียนมันลงไป ตอนนี้คุณต้องเปิดวงเล็บ:

ใน 2 - ใน 2 * (cos A) 2 \u003d a 2 - c 2 + 2 c * ใน * cos A - ใน 2 * (cos A) 2

ถ้าในที่นี้เราทำการถ่ายโอนและลดเงื่อนไขที่คล้ายกัน เราก็จะได้สูตรตั้งต้น ซึ่งเขียนหลังสูตร นั่นคือ ทฤษฎีบทโคไซน์ หลักฐานครบ.

การพิสูจน์ทฤษฎีบทในแง่ของเวกเตอร์

มันสั้นกว่าครั้งก่อนมาก และถ้าคุณรู้คุณสมบัติของเวกเตอร์ ทฤษฎีบทโคไซน์ของรูปสามเหลี่ยมก็จะได้รับการพิสูจน์อย่างง่ายๆ

หากด้าน a, b, c แทนด้วยเวกเตอร์ BC, AC และ AB ตามลำดับ ความเสมอภาคจะเป็นจริง:

BC = AC - AB

ตอนนี้คุณต้องทำบางสิ่ง อันแรกคือการยกกำลังสองของสมการทั้งสองข้าง:

BC 2 \u003d AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB

จากนั้นจะต้องเขียนความเท่าเทียมกันใหม่ในรูปแบบสเกลาร์ เนื่องจากผลคูณของเวกเตอร์เท่ากับโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมันกับค่าสเกลาร์:

BC 2 \u003d AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

มันยังคงเป็นเพียงการกลับไปที่สัญกรณ์เก่าและอีกครั้งเราได้ทฤษฎีบทโคไซน์:

a 2 \u003d ใน 2 + c 2 - 2 * ใน * c * cos A.

สูตรสำหรับด้านอื่นและทุกมุม

การหาด้านนั้น คุณต้องหารากที่สองของทฤษฎีบทโคไซน์ สูตรสำหรับกำลังสองของด้านอื่น ๆ จะมีลักษณะดังนี้:

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

การเขียนนิพจน์สำหรับกำลังสองของด้าน ใน, คุณต้องแทนที่ในความเท่าเทียมกันก่อนหน้า กับบน ในและในทางกลับกัน ให้มุม B อยู่ใต้โคไซน์

จากสูตรหลักของทฤษฎีบท เราสามารถแสดงค่าของโคไซน์ของมุม A ได้ดังนี้

cos A \u003d (ใน 2 + c 2 - a 2) / (2 ใน * c)

สูตรสำหรับมุมอื่นจะได้มาในทำนองเดียวกัน นี่เป็นแนวทางปฏิบัติที่ดี ดังนั้นคุณสามารถลองเขียนด้วยตัวเอง

โดยธรรมชาติแล้วไม่จำเป็นต้องจำสูตรเหล่านี้ เพียงพอที่จะเข้าใจทฤษฎีบทและสามารถได้รับนิพจน์เหล่านี้จากสัญกรณ์หลัก

สูตรดั้งเดิมของทฤษฎีบททำให้สามารถหาด้านได้หากมุมไม่อยู่ระหว่างสองด้านที่รู้จัก ตัวอย่างเช่น คุณต้องค้นหา ในเมื่อได้รับค่า: ก ค ก. หรือไม่รู้จัก กับแต่มีค่า ก ข ก.

ในสถานการณ์นี้ คุณต้องย้ายเงื่อนไขทั้งหมดของสูตรไปทางด้านซ้าย คุณได้รับความเท่าเทียมกันนี้:

c 2 - 2 * ใน * c * cos A + ใน 2 - a 2 \u003d 0

ลองเขียนใหม่ในรูปแบบที่ต่างออกไปเล็กน้อย:

c 2 - (2 * ใน * cos A) * c + (ใน 2 - a 2) \u003d 0

คุณสามารถดูสมการกำลังสองได้อย่างง่ายดาย มีปริมาณที่ไม่รู้จัก กับและที่เหลือทั้งหมดจะได้รับ ดังนั้นจึงเพียงพอที่จะแก้ปัญหาโดยใช้การเลือกปฏิบัติ ดังนั้นจะพบด้านที่ไม่รู้จัก

ในทำนองเดียวกันจะได้สูตรสำหรับด้านที่สอง:

ใน 2 - (2 * c * cos A) * ใน + (c 2 - a 2) \u003d 0

จากนิพจน์อื่น สูตรดังกล่าวสามารถหาได้ง่ายเช่นกัน

จะหาชนิดของมุมโดยไม่คำนวณโคไซน์ได้อย่างไร?

หากคุณพิจารณาสูตรสำหรับโคไซน์ของมุมอย่างละเอียด ซึ่งได้รับมาก่อนหน้านี้ คุณจะสังเกตเห็นสิ่งต่อไปนี้:

  • ตัวส่วนของเศษส่วนจะเป็นจำนวนบวกเสมอ เพราะมันประกอบด้วยผลคูณของด้านที่ไม่สามารถลบได้
  • ค่าของมุมจะขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของตัวเศษ

มุม A จะเป็น:

  • เฉียบพลันในสถานการณ์ที่ตัวเศษมากกว่าศูนย์
  • โง่ถ้านิพจน์นี้เป็นลบ
  • โดยตรงเมื่อมันมีค่าเท่ากับศูนย์

อีกอย่าง สถานการณ์สุดท้ายเปลี่ยนทฤษฎีบทโคไซน์เป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพราะสำหรับมุม 90º โคไซน์ของมันคือศูนย์ และเทอมสุดท้ายจะหายไป

ภารกิจแรก

สภาพ

มุมป้านของสามเหลี่ยมมุมฉากบางรูปมีค่าเท่ากับ 120º เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วเกี่ยวกับด้านที่มีขอบเขตว่าด้านหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกด้านหนึ่ง 8 ซม. ทราบความยาวของด้านที่สามคือ 28 ซม. จำเป็นต้องหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม

วิธีการแก้

ก่อนอื่นคุณต้องกำหนดด้านใดด้านหนึ่งด้วยตัวอักษร "x" ในกรณีนี้ อีกอันจะเท่ากับ (x + 8) เนื่องจากมีนิพจน์สำหรับทั้งสามด้าน คุณสามารถใช้สูตรที่กำหนดโดยทฤษฎีบทโคไซน์ได้:

28 2 \u003d (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º

ในตารางโคไซน์ คุณต้องหาค่าที่ตรงกับ 120 องศา นี่จะเป็นตัวเลข 0.5 ที่มีเครื่องหมายลบ ตอนนี้ควรจะเปิดวงเล็บ ปฏิบัติตามกฎทั้งหมด และนำเงื่อนไขที่คล้ายคลึงมา:

784 \u003d x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0.5) * (x + 8);

784 \u003d 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

สมการกำลังสองนี้แก้ได้โดยการหา discriminant ซึ่งจะเท่ากับ:

D \u003d 24 2 - 4 * 3 * (- 720) \u003d 9216.

เนื่องจากค่าของมันมากกว่าศูนย์ สมการจึงมีรากคำตอบสองตัว

x 1 \u003d ((-24) + √ (9216)) / (2 * 3) \u003d 12;

x 2 \u003d ((-24) - √ (9216)) / (2 * 3) \u003d -20

รากสุดท้ายไม่สามารถเป็นคำตอบของปัญหาได้เพราะด้านต้องเป็นบวก



ชอบบทความ? แบ่งปันกับเพื่อน ๆ !